Ejercicios de Integrales definidas II

Ejercicio 1: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_0^4\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx\)

Reescribiendo la integral se obtiene,

\(\displaystyle\int_0^4\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\displaystyle\int_0^4(2x+1)^{-\frac 12}dx\)

La integral es directa, ver la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, así que se resuelve la integral y se evalúa el resultado en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^4(2x+1)^{-\frac 12}dx=\sqrt{2x+1}\Big|_0^4=3-1\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle 2}\)

Ejercicio 2: Calcular el área de la región \(y=2+\sqrt{x}\) entre \(x=0\), \(x=4\), \(y=0\)

El área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, ver cómo calcular áreas de funciones, en este caso la función viene dada como región entre dos funciones, \(y=2+\sqrt{x}\) e \(y=0\), por lo que quedaría

\(\displaystyle\int_0^42+\sqrt{x}dx\)

Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales y mirando la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^42+\sqrt{x}dx=2x+\dfrac{2(x)^{\frac 32}}{3}\Big|_0^4=8+\frac 23\sqrt{64}-0\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle\frac{40}{3}}\)

 

Ejercicio 3: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos (2x)dx\)

Consultando la tabla de integrales, en concreto la integral de la función coseno, es posible hallar el resultado resolviendo la integral y evaluándola en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos (2x)dx=\dfrac{1}{2}\sin (2x)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac 12\sin\pi-\frac 12\sin 0\)

Recordando que la función seno se anula en \(0\) y en \(\pi\), ver expresiones trigonométricas, se tiene que el resultado es \(\boxed{0}\)

Ejercicio 4: Calcular el área de la gráfica \(y=x+\cos x\) en el intervalo \([0,\frac{\pi}{2}]\)

Recordando que el área de una función en un intervalo se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, consultar la sección cómo calcular áreas de funciones.

Por lo tanto, en este caso hay que calcular

\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x+\cos xdx\)

Teniendo en cuenta que la integral de la suma es la suma de las integrales, ver operaciones con integrales, consultando además la tabla de integrales, en concreto la integral de la función coseno y de potencias de funciones, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x+\cos xdx=\dfrac{x^2}{2}+\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\)

Sabiendo que la función seno se anula en el \(0\) y vale \(1\) en \(\frac{\pi}{2}\), ver trigonometría, se tiene el resultado:\(\boxed{\displaystyle\frac{\pi^2}{8}+1}\)

 

Ejercicio 5: Calcular el área encerrada entre la gráfica \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=4x-3\)

El área de una función se calcula integrando dicha función entre los límites del intervalo pedido, ver cómo calcular áreas de funciones.

En este caso la función viene dada como región entre dos funciones, \( f(x)=x^2\) y \(g(x)=4x-3\), para ver el intervalo en el que debe integrarse dicha región, hay que comprobar los puntos en los que se cortan las funciones

De manera que en este caso hay que resolver el sistema entre \(y=x^2\) e \(y=4x-3\), igualando ambas expresiones se obtiene \(x^2-4x+3=0\)

Las raíces del polinomio obtenido son \(x=1\) y \(x=3\), ver cómo resolver polinomios, de forma que esos puntos serán los límites de integración, quedando

\(\displaystyle\int_1^3f(x)-g(x)dx=\displaystyle\int_1^3x^2-4x+3dx\)

Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales y mirando la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas,

\(\displaystyle\int_1^3x^2-4x+3dx=\dfrac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+3x\Big|_1^3=9-24+9-\frac 13+2-3\)

De forma que el resultado final sería \(\boxed{\displaystyle\frac{22}{3}}\)

 

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