Ejercicios de Integrales por partes I

\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int xe^{3x}dx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x,\; du=dx\) y \(dv= e^{3x},\; v=\frac 13 e^{3x}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una exponencial, quedaría,

\(\displaystyle\int xe^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\int\frac{e^{3x}}{3}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac 19 e^{3x}+C\)

Simplificando la expresión, el resultado queda

\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{(3x-1)e^{3x}}{9}+C}\)

Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x\ln xdx\)

Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=\ln x,\; du=\frac{dx}{x}\) y \(dv= x,\; v=\frac{x^2}{2}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, quedaría,

\(\displaystyle\int x\ln xdx=\frac{x^2\ln x}{2}-\int\frac{x^2}{2}dx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C\)

De manera que el resultado es

\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C}\)

 

\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x^2e^{2x}dx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x^2,\; du=2xdx\) y \(dv= e^{2x},\; v=\frac{e^{2x}}{2}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una exponencial, quedaría,

\(\displaystyle\int x^2e^{2x}dx=\frac{x^2}{2}e^{2x}-\int xe^{2x}dx=\displaystyle\frac{x^2}{2}e^{2x}-\frac{e^{2x}}{4}+C\)

De manera que quedaría

\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{x^2}{2}e^{2x}-\frac{e^{2x}}{4}+C}\)

\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x\cos xdx\)

Identificando \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, se obtiene

\(u=x,\; du=dx\) y \(dv=\cos x,\; v=\sin x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral del seno, queda,

\(\displaystyle\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx=\displaystyle x\sin x+\cos x+C\)

De manera que el resultado es

\(\bbox[yellow]{\displaystyle x\sin x+\cos x+C}\)

 

\[\]Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int\ln 3xdx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=\ln 3x,\; du=\frac{3}{3x}dx\) y \(dv= dx,\; v=x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene

\(\displaystyle\int\ln 3xdx=x\ln 3x-\int\frac{3x}{3x}dx=x\ln 3x-x+C\)

Siendo, por lo tanto, el resultado

\(\bbox[yellow]{\displaystyle x\ln 3x-x+C}\)

\[\] Ejercicio 6: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x\sin 4xdx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x,\; du=dx\) y \(dv= \sin 4x,\; v=-\frac{1}{4}\cos 4x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral del coseno, quedaría,

\(\displaystyle\int x\sin 4xdx=-\frac{x}{4}\cos 4x+\int\frac{\cos 4x}{4}dx\)

De manera que el resultado quedaría

\(\bbox[yellow]{\displaystyle-\frac{x}{4}\cos 4x+\frac{1}{16}\sin 4x+C}\)

 

 

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