\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int \frac{\ln 3x}{x^2}dx\)
Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=\ln 3x,\; du=\frac{3}{3x}dx\) y \(dv= \frac{1}{x^2}dx,\; v=-\frac{1}{x}\), quedando
\(\displaystyle\int \frac{\ln 3x}{x^2}dx=\displaystyle-\frac{\ln 3x}{x}+\int\frac{1}{x^2}dx\)
Mirando cómo se resuelve la integral de la potencia de una función, se obtiene
\(\displaystyle-\frac{\ln 3x}{x}+\int\frac{1}{x^2}dx=\displaystyle-\frac{\ln 3x}{x}-\frac{1}{x}+C\)
De forma que sacando factor común, el resultado queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle-\frac{1}{x}(\ln 3x +1)+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int e^{2x}\sin xdx\)
En la expresión no aparece una función y su derivada y no es de tipo racional ni puede simplificarse, por lo que la integral se resuelve por partes.
Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=\sin x,\; du=\cos xdx\) y \(dv= e^{2x},\; v=\frac 12e^{2x}\), obteniendo de esta forma
\(\displaystyle\int e^{2x}\sin xdx=\frac{e^{2x}\sin x}{2}-\displaystyle\int \frac{e^{2x}\cos x}{2}dx\)
La integral resultante no es directa así que debe repetirse el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso \(u=\cos x,\; du= -\sin xdx\) y \(dv=\frac{e^{2x}}{2},\; v=\frac{e^{2x}}{4}\), quedando
\(\frac{e^{2x}\sin x}{2}-\displaystyle\int \frac{e^{2x}\cos x}{2}dx=\frac{e^{2x}\sin x}{2}-\displaystyle \frac{e^{2x}\cos x}{4}-\displaystyle\int \frac{e^{2x}\sin x}{4}dx\)
En la expresión anterior aparece la integral inicial, de manera que se trata de una integral cíclica (ver cómo resolver integrales cíclicas), llamando \(I\) a la integral del inicio, queda
\(I=\displaystyle\frac{e^{2x}\sin x}{2}-\displaystyle \frac{e^{2x}\cos x}{4}-\frac{I}{4}\)
Despejando la \(I\) de la expresión, queda el resultado final
\(\bbox[yellow]{I=\displaystyle \frac{e^{2x}(2\sin x-\cos x)}{5}+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x^2\sqrt{x+8}dx\)
Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=x^2,\; du=2xdx\) y \(dv= \sqrt{x+8},\; v=\frac{(x+8)^{\frac 32}}{\frac 32}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una exponencial, quedaría,
\(\displaystyle\int x^2\sqrt{x+8}dx=\displaystyle\frac{2x^2(x+8)^{\frac 32}}{3}-\int\frac{4x(x+8)^{\frac 32}}{3}dx\)
Se integra de nuevo por partes, en este caso \(u=\frac{4x}{3},\; du=\frac 43 dx\) y \(dv= (x+8)^{\frac 32},\; v=\frac{(x+8)^{\frac 52}}{\frac 52}\), obteniendo,
\(\displaystyle\frac{2x^2(x+8)^{\frac 32}}{3}-\int\frac{4x(x+8)^{\frac 32}}{3}dx=\displaystyle\frac{2x^2(x+8)^{\frac 32}}{3}-\frac{8x(x+8)^{\frac 52}}{15}+\int\frac{8(x+8)^{\frac 52}}{15}dx\)
De manera que, mirando la tabla de integrales, quedaría
\(\displaystyle\frac{2x^2(x+8)^{\frac 32}}{3}-\frac{8x(x+8)^{\frac 52}}{15}+\int\frac{8(x+8)^{\frac 52}}{15}dx=\displaystyle\frac{2x^2(x+8)^{\frac 32}}{3}-\frac{8x(x+8)^{\frac 52}}{15}+\frac{8}{15}\frac{(x+8)^{\frac 72}}{\frac 72}+C\)
Sacando factor común y agrupando términos, resulta
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{2x^2(x+8)^{\frac 32}}{3}-\frac{8x(x+8)^{\frac 52}}{15}+\frac{16(x+8)^{\frac 72}}{105}+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int 2x\sqrt{2x-3} xdx\)
Identificando \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, se obtiene
\(u=2x,\; du=2dx\) y \(dv=\sqrt{2x-3},\; v=\frac{(2x-3)^{\frac 32}}{3}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, queda,
\(\displaystyle\int 2x\sqrt{2x-3} xdx=\frac{2x(2x-3)^{\frac 32}}{3}-\int\frac 23(2x-3)^{\frac 32}dx=\frac{2x(2x-3)^{\frac 32}}{3}-\frac 23\frac{(2x-3)^{\frac 52}}{5}+C\)
De manera que el resultado es
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \frac{2x(2x-3)^{\frac 32}}{3}-\frac 23\frac{(2x-3)^{\frac 52}}{5}+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x\arcsin x^2dx\)
Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=\arcsin x^2,\; du=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}dx\) y \(dv= xdx,\; v=\frac{x^2}{2}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int x\arcsin x^2dx=\frac{x^2}{2}\arcsin x^2-\int\frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx=\frac{x^2}{2}\arcsin x^2+\frac 12\sqrt{1-x^4}+C\)
Siendo, por lo tanto, el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \frac{x^2}{2}\arcsin x^2+\frac 12\sqrt{1-x^4}+C}\)
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