Ejercicios de Integrales por partes II

\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int (\ln x)^2dx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=(\ln x)^2,\; du=2\frac{\ln x}{x}dx\) y \(dv= dx,\; v=x\), quedando

\(\displaystyle\int (\ln x)^2dx=x(\ln x)^2-\int 2\ln xdx\)

La integral resultante no es directa por lo que debe integrarse por partes de nuevo, en este caso \(u=\ln x,\; du=\frac{1}{x}dx\) y \(dv=dx,\; v=x\), obteniendo

\(x(\ln x)^2-\int 2\ln xdx=x(\ln x)^2-2x\ln x+\int 2dx\)

Integrando se tiene

\(x(\ln x)^2-\int 2\ln xdx=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C\)

De forma que el resultado queda

\(\bbox[yellow]{\displaystyle x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C}\)

Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x^2\sin xdx\)

Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x^2,\; du=2xdx\) y \(dv= \sin x,\; v=-\cos x\), obteniendo

\(\displaystyle\int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+\int 2x\cos xdx\)

La integral que ha quedado no es directa, por lo que es necesario volver a integrar por partes para obtener el resultado, siendo en este caso \(u=2x,\; du=2dx\) y \(dv=\cos x,\;v=\sin x\), quedando

\(\displaystyle -x^2\cos x+\int 2x\cos xdx=\displaystyle -x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx\)

Consultando la tabla de integrales, en concreto la integral del seno, se obtiene

\(\displaystyle -x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx=\displaystyle -x^2\cos x+2x\sin x+ 2\cos x+C\)

De manera que, sacando factor común, el resultado queda

\(\bbox[yellow]{\displaystyle 2x\sin x+ \cos x(2-x^2)+C}\)

 

\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int (x^2+6)e^{x}dx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x^2+6,\; du=2xdx\) y \(dv= e^{x},\; v=e^{x}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una exponencial, quedaría,

\(\displaystyle\int (x^2+6)e^{x}dx=\displaystyle e^x(x^2+6)-\int 2xe^{x}dx\)

Se integra de nuevo por partes, en este caso \(u=2x,\; du=2dx\) y \(dv= e^{x},\; v=e^{x}\), obteniendo,

\(\displaystyle e^x(x^2+6)-\int 2xe^{x}dx=\displaystyle e^x(x^2+6)-2xe^{x}+\int 2e^{x}dx\)

De manera que, mirando la tabla de integrales, quedaría

\(\displaystyle e^x(x^2+6)-2xe^{x}+\int 2e^{x}dx=\displaystyle e^x(x^2+6)-2xe^{x}+2e^{x}+C\)

Sacando factor común y agrupando términos, resulta

\(\bbox[yellow]{\displaystyle e^{x}(x^2-2x+8)+C}\)

\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int (x+2)\sec ^2 xdx\)

Identificando \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, se obtiene

\(u=x+2,\; du=dx\) y \(dv=\sec ^2 x,\; v=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, queda,

\(\displaystyle\int (x+2)\sec ^2 xdx=(x+2)\tan x-\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=\displaystyle (x+2)\tan x+\ln (\cos x)+C\)

De manera que el resultado es

\(\bbox[yellow]{\displaystyle (x+2)\tan x+\ln (\cos x)+C}\)

 

\[\]Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int\arctan xdx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=\arctan x,\; du=\frac{1}{1+x^2}dx\) y \(dv= dx,\; v=x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene

\(\displaystyle\int\arctan xdx=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}dx=x\arctan x-\frac 12\ln (1+x^2)+C\)

Siendo, por lo tanto, el resultado

\(\bbox[yellow]{\displaystyle x\arctan x-\frac {1}{2\ln (1+x^2)}+C}\)

\[\] Ejercicio 6: Resolver la siguiente integral por partes \(\displaystyle\int x\sqrt{x-1}dx\)

Para resolver la integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=x,\; du=dx\) y \(dv= (x-1)^{\frac 12},\; v=\frac{3(x-1)^{\frac 32}}{2}\), obteniendo

\(\displaystyle\int x\sqrt{x-1}dx=\frac{3x(x-1)^{\frac 32}}{2}-\int\frac{3(x-1)^{\frac 32}}{2}dx\)

De manera que teniendo en cuenta la tabla de integrales, quedaría

\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{3x(x-1)^{\frac 32}}{2}-\frac{3(x-1)^{\frac 52}}{5}+C}\)

 

Ver ejercicios de repaso de integrales por partes

 

 

Ver ejercicios más avanzados de integrales por partes