\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{x-1}{x^2(x+1)}dx\)
El denominador puede dividirse en tres fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{x-1}{x^2(x+1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\), \(B\) y \(c\) se hace denominador común agrupando términos:
\(Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2=x-1\Rightarrow x^2(A+C)=0,\quad x(A+B)=x\quad\hbox{y}\quad B=-1\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene \(A=2\), \(B=-1\) y \(C=-2\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}dx=\displaystyle\int\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x+1}dx\)
Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x+1}dx=2\ln x+\frac{1}{x}-2\ln (x+1)+C\)
Teniendo en cuenta además las propiedades de los logaritmos se llega al resultado,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle 2\ln\big(\frac{x}{x+1}\big)+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x(\cos x-1)}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin x dx\), la integral quedaría
\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x(\cos x-1)}dx=\displaystyle\int\frac{-du}{u(u-1)}dx\)
De esta manera el denominador está ya factorizado y al tener dos raíces simples (\(0\) y \(1\)), la integral puede escribirse como la suma de dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{-du}{u(u-1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}du\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(A(u-1)+Bu=-1\Rightarrow u(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad -A=-1\)
De forma que se obtiene
\(A=1\) y \(B=-1\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}du=\displaystyle\int\frac{1}{u}-\frac{1}{u-1}du\)
Teniendo en cuenta que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{1}{u}-\frac{1}{u-1}du=\displaystyle\ln u-\ln (u-1)+C\)
Haciendo uso de alguna propiedad de los logaritmos, queda
\(\displaystyle\ln u-\ln (u-1)+C=\displaystyle\ln \big(\frac{u}{u-1}\big)+C\)
Deshaciendo el cambio de variable \(u=\cos x\), se llega al resultado final
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\displaystyle\ln \big(\frac{\cos x}{\cos x-1}\big)+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2-4}dx\)
Reescribiendo el denominador como \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), se concluye que la integral puede escribirse como suma de dos fracciones,
\(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2-4}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}dx\)
Se halla el denominador común y se despejan los parámetros \(A\) y \(B\),
\(A(x+2)+B(x-2)=x+1\Rightarrow A+B=1\quad\hbox{y}\quad -4B=-1\)
Despejando de las expresiones anteriores, se concluye
\(A=\frac 34\) y \(B=\frac 14\)
De esta forma la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}dx=\displaystyle\int\frac{3}{4(x-2)}+\frac{1}{4(x+2)}dx\)
Consultando la tabla de integrales y las operaciones con integrales, se obtiene el resultado
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\frac 34\ln (x-2)+\frac 14\ln (x+2)+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral racional \(\displaystyle\int\frac{3x}{x^2-6x+9}dx\)
Igualando el polinomio del denominador a cero se obtienen la raíz \(x=3\) doble, ver cómo resolver polinomios, de forma que la integral puede escribirse como, ver cómo resolver integrales racionales,
\(\displaystyle\int\frac{3x}{x^2-6x+9}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^2}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(A(x-3)+B=3x\Rightarrow A=3\quad\hbox{y}\quad -3A+B=0\)
De forma que se obtiene
\(A=3\) y \(B=9\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^2}dx=\displaystyle\int\frac{3}{x-3}+\frac{9}{(x-3)^2}dx\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, se obtiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle 3\ln (x-3)-\frac{9}{x-3}+C}\)
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