Ejercicios de Integrales varias VII

Ejercicio 1: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int e^{\sin 18x}\cos 18xdx\)

Como \((\sin 18x)'=18\cos 18x\), mirando cómo integrar la función seno en la tabla de integrales, se halla el resultado;

\(\displaystyle\int e^{\sin x}\cos xdx=\boxed{\displaystyle \frac{e^{\sin x}}{18}+C}\)

Ejercicio 2: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x^3}{(x^2-4)^2}dx\)

La integral puede escribirse como

\(\displaystyle\int\frac{x^3}{(x^2-4)^2}dx=\displaystyle\int\frac{Ax}{x^2-4}+\frac{Bx}{(x^2-4)^2}dx\)

Se calcula el denominador común y se agrupan términos para hallar los parámetros \(A\) y \(B\),

\(Ax(x^2-4)+Bx=x^3\Rightarrow Ax^3=x^3\quad\hbox{y}\quad -4Ax+Bx=0\Rightarrow A=1\quad\hbox{y}\quad B=4\)

De forma que la integral quedaría,

\(\displaystyle\int\frac{Ax}{x^2-4}+\frac{Bx}{(x^2-4)^2}dx=\displaystyle\int\frac{x}{x^2-4}+\frac{4x}{(x^2-4)^2}dx\)

Sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales y consultando la tabla de integrales, se tiene

\(\displaystyle\boxed{\displaystyle\frac 12\ln (x^2-4)-\frac{2}{x^2-4}+C}\)

 

Ejercicio 3: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\arccos xdx\)

En la integral no aparece una función y su derivada, la expresión no es racional y es simplificable, por lo que el procedimiento para resolverla será por partes.

Para resolver una integral por partes se debe identificar primero \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso

\(u=\arccos x,\; du=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\) y \(dv=dx,\; v=x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, quedaría,

\(\displaystyle\int\arccos xdx=\displaystyle x\arccos x-\frac 22\sqrt{1-x^2}+C\)

De manera que el resultado queda

\(\boxed{\displaystyle x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C}\)

 

Ejercicio 4: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}dx\)

Reescribiendo la integral, queda

\(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}dx= \displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}dx\)

Mirando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle\frac{1}{2}\arcsin x^2+C}\)

Ejercicio 5: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{x^2+3x+7}{\sqrt{x}}dx\)

Recordando cómo operar con integrales, se reescribe la integral,

\(\displaystyle\int \frac{x^2+3x+7}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int x^{\frac 32}+3x^{\frac 12}+7x^{-\frac 12}dx\)

Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;

\(\displaystyle\int x^{\frac 32}+3x^{\frac 12}+7x^{-\frac 12}dx=\displaystyle\frac 25x^{\frac 52}+\frac 23 3x^{\frac 32}+14x^{\frac 12}+C\)

Reescribiendo el resultado, queda

\(\boxed{\displaystyle\frac{2\sqrt{x^5}}{5}+2\sqrt{x^3}+14\sqrt{x}+C}\)

 

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