\[\] Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{3\cos x}{\sin ^2x+\sin x-2}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx\), la integral entonces quedaría
\(\displaystyle\int\frac{3\cos x}{\sin ^2x+\sin x-2}dx=\displaystyle\int\frac{3du}{u^2+u-2}\)
Igualando a cero el polinomio del denominador se hallan sus raíces: \(u=-2\) y \(u=1\), de manera que la integral puede expresarse como suma de dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, quedando
\(\displaystyle\int\frac{3du}{u^2+u-2}=\displaystyle\int\frac{A}{u+2}+\frac{B}{u-1}du\)
Haciendo denominador común e igualando el numerador resultante al numerador inicial, se obtiene
\(A(u-1)+B(u+2)=3\Rightarrow A+B=0\quad\hbox{y}\quad -A+2B=3\), luego \(A=-1\) y \(B=1\), teniendo
\(\displaystyle\int\frac{A}{u+2}+\frac{B}{u-1}du=\displaystyle\int\frac{-1}{u+2}+\frac{1}{u-1}du\)
Consultando la tabla de integrales se obtiene el resultado final,
\(\displaystyle\int\frac{-1}{u+2}+\frac{1}{u-1}du=\displaystyle -\ln (u+2)+\ln (u-1)+C\)
Utilizando algunas propiedades de los logaritmos, se tiene que
\(\displaystyle -\ln (u+2)+\ln (u-1)+C=\displaystyle\ln \big(\frac{u-1}{u+2}\big)+C\)
Deshaciendo el cambio \(u=\sin x\) se concluye el resultado final:
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\ln \big(\frac{\sin x-1}{\sin x+2}\big)+C}\)
\[\] Ejercicio 7: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{3}{6\sqrt{x}}dx\)
Reescribiendo primeramente la integral, se tiene
\(\displaystyle\int \frac{3}{6\sqrt{x}}dx=\displaystyle\frac 36\int x^{-\frac 12}dx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\frac 36\int x^{-\frac 12}dx=\displaystyle\frac 36\frac{x^{\frac 12}}{\frac 12}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\sqrt{x}+C}\)
\[\] Ejercicio 8: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\arcsin 2x dx\)
En la expresión no aparece una función y su derivada y no es de tipo racional ni puede simplificarse, por lo que la integral se resuelve por partes.
Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=\arcsin 2x,\; du=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx\) y \(dv= dx,\; v=x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, quedaría,
\(\displaystyle\int\arcsin 2x dx=x\arcsin 2x-\int\frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx=x\arcsin 2x-\frac 24\sqrt{1-4x^2}+C\)
Simplificando queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle x\arcsin 2x-\frac 12\sqrt{1-4x^2}+C}\)
\[\] Ejercicio 9: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{2}{x^2-9}dx\)
Como \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), la integral puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{2}{x^2-9}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:
\(A(x+3)+B(x-3)=2\Rightarrow A+B=0\quad\hbox{y}\quad 3A-3B=2\)
De forma que resolviendo el sistema se obtiene
\(A=-\frac 13\) y \(B=\frac 13\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}dx=\displaystyle\int\frac{-1}{3(x-3)}+\frac{1}{3(x+3)}dx\)
Teniendo en cuenta que la suma integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene el resultado
\(\displaystyle\int\frac{-1}{3(x-3)}+\frac{1}{3(x+3)}dx=-\frac 13\ln (x-3)+\frac 13\ln (x+3)+C\)
Utilizando algunas propiedades de los logaritmos, se obtiene
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 13\ln \Big(\frac{x+3}{x-3}\Big)+C}\)
\[\] Ejercicio 10: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x^3 e^{x}dx\)
En la expresión no aparece una función y su derivada y no es de tipo racional ni puede simplificarse, por lo que la integral se resuelve por partes.
Primeramente debe identificarse en la expresión \(u\) y \(dv\), ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=x^3,\; du=3x^2dx\) y \(dv= e^{x},\; v=e^{x}\), obteniendo
\(\displaystyle\int x^3 e^{x}dx=x^3 e^{x}-\int 3x^2 e^{x}dx\)
La integral que ha quedado no es directa, por lo que es necesario volver a integrar por partes para obtener el resultado, siendo en este caso \(u=3x^2,\; du=6xdx\) y \(dv=e^{x},\;v=e^{x}\), quedando
\(\displaystyle x^3 e^{x}-\int 3x^2 e^{x}dx=\displaystyle x^3 e^{x}-3x^2 e^{x}+\int 6x e^{x}dx\)
La integral resultante no es inmediata, por lo que hay que integrar por partes de nuevo, en este caso \(u=6x,\; du=6dx\) y \(dv=e^{x},\;v=e^{x}\), obteniendo
\(\displaystyle x^3 e^{x}-3x^2 e^{x}+\int 6x e^{x}dx=\displaystyle x^3e^{x}-3x^2 e^{x}+6x e^{x}-\int 6 e^{x}dx\)
Consultando la tabla de integrales, en concreto la integral del coseno, se obtiene
\(\displaystyle x^3 e^{x}-3x^2 e^{x}+6x e^{x}-\int 6 e^{x}dx=\displaystyle x^3 e^{x}-3x^2 e^{x}+6x e^{x}-6 e^{x}dx+C\)
Sacando factor común se tiene el resultado final,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle e^{x}(x^3-3x^2+6x-6)+C}\)