\[\] Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-x^2+2x}}dx\)
Reescribiendo la integral,
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-x^2+2x}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2+2x-1}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\arcsin (x-1)+C}\)
\[\] Ejercicio 7: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{x+2x^2}{\sqrt{x}}dx\)
Reescribiendo primeramente la integral, se tiene
\(\displaystyle\int \frac{x+2x^2}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int (x+2x^2)(x)^{-\frac 12}dx=\displaystyle\int x^{\frac 12}+2(x)^{\frac 32}dx\)
Sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, se tiene
\(\displaystyle\int x^{\frac 12}+2(x)^{\frac 32}dx=\displaystyle\int x^{\frac 12}dx+\int 2(x)^{\frac 32}dx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int x^{\frac 12}dx+\int 2(x)^{\frac 32}dx=\displaystyle\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}+\frac{2x^{\frac 52}}{\frac 52}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 23\sqrt{x^3}+\frac 45\sqrt{x^5}+C}\)
\[\] Ejercicio 8: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\)
Reescribiendo la integral, queda
\(\displaystyle\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int 2(x)^{-\frac 12}dx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla
\(\displaystyle\int 2(x)^{-\frac 12}dx=\displaystyle 2\frac{x^{\frac 12}}{\frac 12}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle 4\sqrt{x}+C}\)
\[\] Ejercicio 9: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x(-\sin x)dx\)
Como en la expresión no aparece una función y su derivada (salvo constantes) y no es de tipo racional ni puede simplificarse, la integral se resuelve por partes.
Por lo tanto, identificando \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, se obtiene
\(u=x,\; du=dx\) y \(dv=-\sin x,\; v=\cos x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, queda,
\(\displaystyle\int x(-\sin x)dx=\displaystyle x\cos x-\int\cos xdx\)
De manera que, mirando en la tabla de integrales cómo calcular la integral del coseno, el resultado queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle x\cos x-\sin x+C}\)
\[\] Ejercicio 10: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{3}{2x^2+5x+2}dx\)
Igualando a cero el denominador y factorizándolo, ver cómo resolver polinomios, se obtiene,
\(\displaystyle 2x^2+5x+2=0\Rightarrow\quad x=-2\) y \(x=\frac 12\)
Así que el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{3}{2x^2+5x+2}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-\frac 12}dx\)
Se calcula el denominador común y se agrupan términos para hallar los parámetros \(A\) y \(B\),
\(A(x-\frac 12)+B(x+2)=3\Rightarrow A+B=0\quad\hbox{y}\quad -\frac{A}{2}+2B=3\Rightarrow A=-\frac 65\quad\hbox{y}\quad B=\frac 65\)
De forma que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-\frac 12}dx=\displaystyle\int\frac{-6}{5(x+2)}+\frac{6}{5(x-\frac 12)}dx\)
Sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, consultando la tabla de integrales y utilizando alguna propiedad de los logaritmos, se tiene
\(\displaystyle\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 65\ln\Big(\frac{x-\frac 12}{x+2}\Big)+C}\)