\[\]Ejercicio 1: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\cos 9xdx\)
Reescribiendo primeramente la integral, se tiene
\(\displaystyle\int\cos 9xdx=\displaystyle\frac 19\int 9\cos 9xdx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar la función coseno, se halla el resultado;
\(\displaystyle\frac 19\int 9\cos 9xdx=\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{\sin 9x}{9}+C}\)
Ejercicio 2: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x(x^2+1)}dx\)
Como el polinomio \(x^2+1\) no es simplificable en raíces reales, la integral puede escribirse como suma de tres fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, quedaría
\(\displaystyle\int\frac{x+1}{x(x^2+1)}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1}+\frac{Cx}{x^2+1}dx\)
Haciendo denominador común e igualando el numerador resultante al numerador inicial, se obtiene
\(A(x^2+1)+Bx+Cx^2=x+1\Rightarrow A+C=0\quad B=1\quad\hbox{y}\quad C=-1\), luego \(A=1\) y se tiene
\(\displaystyle\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1}+\frac{Cx}{x^2+1}dx=\displaystyle\int\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2+1}-\frac{x}{x^2+1}dx\)
Consultando la tabla de integrales se obtiene el resultado final,
\(\displaystyle\int\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2+1}-\frac{x}{x^2+1}dx=\displaystyle\ln x+\arctan x-\frac 12\ln (x^2+1)+C\)
Utilizando algunas propiedades de los logaritmos, se tiene que
\(\displaystyle\ln x+\arctan x-\frac 12\ln (x^2+1)+C=\displaystyle\frac 12\ln x^2+\arctan x-\frac 12\ln (x^2+1)+C\)
Siendo el resultado final:
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\arctan x+ \frac 12\ln \big(\frac{x^2}{x^2+1}\big)+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\ln xdx\)
Como en la expresión no aparece una función y su derivada (salvo constantes) y no es de tipo racional ni puede simplificarse, la integral se resuelve por partes.
Para ello se debe identificar \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=\ln x,\; du=\frac{dx}{x}\) y \(dv= dx,\; v=x\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, quedaría,
\(\displaystyle\int\ln xdx=\displaystyle x\ln x-\int dx=\displaystyle x\ln x-x+C\)
De forma que el resultado queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle x\ln x-x+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x^3(x-\frac{3}{x^2})dx\)
Recordando cómo operar con integrales, se reescribe la integral,
\(\displaystyle\int x^3(x-\frac{3}{x^2})dx=\displaystyle\int x^4dx-3\int\frac{x^3}{x^2}dx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int x^4dx-3\int\frac{x^3}{x^2}dx=\displaystyle\frac{x^{5}}{5}+C-\frac{3x^2}{2}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{x^{5}}{5}-\frac{3x^2}{2}+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{2}{x^2-1}dx\)
El denominador puede escribirse como \((x-1)(x+1)\)
De manera que la integral puede expresarse como suma de dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así
\(\displaystyle\int\frac{2}{x^2-1}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}dx\)
Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial, despejando los parámetros:
\(A(x+1)+B(x-1)=2\Rightarrow x(A+B)=0\quad\hbox{y}\quad A-B=2\Rightarrow A=1\quad\hbox{y}\quad B=-1\)
Así que la integral quedaría,
\(\displaystyle\int\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}dx=\displaystyle\int\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x+1}dx\)
Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, y con ayuda de la tabla de integrales, se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x+1}dx=\ln (x-1)-\ln (x+1)+C\)
Aplicando las propiedades de los logaritmos se llega al resultado final,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \ln \big(\frac{x-1}{x+1}\big)+C}\)