\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+16}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+16}dx= \displaystyle\int\frac{x}{16((\frac{x^2}{4})^2+1)}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 18\arctan \frac{x^2}{4}+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2x}}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(u=\sin x\), \(du=\cos xdx\), se puede reescribir la integral quedando,
\(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2x}}dx= \displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{4-u^2}}dx=\displaystyle\int\frac{du}{2\sqrt{1-(\frac{u}{2})^2}}dx\)
Con ayuda de la tabla de integrales se tiene
\(\displaystyle\int\frac{du}{2\sqrt{1-(\frac{u}{2})^2}}dx=arcsin (\frac{u}{2})+C\)
Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene el resultado final
\(\bbox[yellow]{\displaystyle arcsin (\frac{\sin x}{2})+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)^2}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)^2}dx=\displaystyle\int\frac{1}{3(1+(\frac{x-2}{\sqrt{3}})^2)}dx\)
De forma que es del tipo arcotangente, ver tabla de integrales, siendo el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan (\frac{x-2}{\sqrt{3}})+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{1+\cos ^2x}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(u=\cos x\), \(du=-\sin xdx\), se puede expresar la integral como
\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{1+\cos ^2x}dx= \displaystyle\int\frac{-du}{1+u^2}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene
\(\displaystyle\int\frac{-du}{1+u^2}dx-\arctan u+C\)
Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene el resultado final
\(\bbox[yellow]{\displaystyle -\arctan (\cos x)+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+2x^2+2}dx\)
La integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+2x^2+2}dx= \displaystyle\int\frac{x}{(x^2+1)^2+1}dx\)
Como \((x^2+1)’=2xdx\), consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 12\arctan (x^2+1)+C}\)