Ejercicios de Integrales trigonométricas II

Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+16}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+16}dx= \displaystyle\int\frac{x}{16((\dfrac{x^2}{4})^2+1)}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle\frac 18\arctan \frac{x^2}{4}+C}\)

Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2x}}dx\)

Haciendo el cambio de variable \(u=\sin x\), \(du=\cos xdx\), se puede reescribir la integral quedando,

\(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2x}}dx= \displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{4-u^2}}dx=\displaystyle\int\frac{du}{2\sqrt{1-(\frac{u}{2})^2}}dx\)

Con ayuda de la tabla de integrales se tiene

\(\displaystyle\int\frac{du}{2\sqrt{1-(\frac{u}{2})^2}}dx=arcsin (\dfrac{u}{2})+C\)

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene el resultado final

\(\boxed{\displaystyle arcsin (\dfrac{\sin x}{2})+C}\)

 

Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)^2}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{1}{(x-2)^2}dx=\displaystyle\int\frac{1}{3(1+(\dfrac{x-2}{\sqrt{3}})^2)}dx\)

De forma que es del tipo arcotangente, ver tabla de integrales, siendo el resultado

\(\boxed{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan (\dfrac{x-2}{\sqrt{3}})+C}\)

 

Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{1+\cos ^2x}dx\)

Haciendo el cambio de variable \(u=\cos x\), \(du=-\sin xdx\), se puede expresar la integral como

\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{1+\cos ^2x}dx= \displaystyle\int\frac{-du}{1+u^2}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene

\(\displaystyle\int\frac{-du}{1+u^2}dx-\arctan u+C\)

Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene el resultado final

\(\boxed{\displaystyle -\arctan (\cos x)+C}\)

 

Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+2x^2+2}dx\)

La integral puede escribirse como

\(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+2x^2+2}dx= \displaystyle\int\frac{x}{(x^2+1)^2+1}dx\)

Como \((x^2+1)'=2xdx\), consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle\frac 12\arctan (x^2+1)+C}\)

 

 

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