Ejercicios de Integrales varias III

Ejercicio 11: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{2x-3}{(x-1)^2}dx\)

Igualando el polinomio del denominador a cero y resolviéndolo, ver cómo resolver polinomios, se obtiene

\((x-1)^2=0\Rightarrow x=1\) (raíz doble)

De manera que al ser \(x=1\) la única solución del polinomio (doble), el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así

\(\displaystyle\int\frac{2x-3}{(x-1)^2}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}dx\)

Para hallar los parámetros \(A\) y \(B\) se hace denominador común y se iguala el numerador resultante al numerador inicial:

\(A(x-1)+B=2x-3\Rightarrow A=2\quad\hbox{y}\quad -A+B=-3\)

De forma que resolviendo el sistema se obtiene

\(A=2\) y \(B=-1\)

Así que la integral quedaría,

\(\displaystyle\int\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}dx=\displaystyle\int\frac{2}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}dx\)

Teniendo en cuenta que la resta integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales, y teniendo en cuenta la tabla de integrales, se obtiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle 2\ln (x-1)+\frac{1}{x-1}+C}\)

 

Ejercicio 12: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int (\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3x^2})dx\)

Recordando cómo operar con integrales, se reescribe la integral,

\(\displaystyle\int (\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3x^2})dx=\displaystyle\frac 13\int x^3dx-\frac 23\int\frac{1}{x^2}dx\)

Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;

\(\displaystyle\frac 13\int x^3dx-\frac 23\int\frac{1}{x^2}dx=\displaystyle\frac{x^{4}}{4}-\frac 23\frac{x^{-1}}{(-1)}+C\)

Reescribiendo el resultado, queda

\(\boxed{\displaystyle\frac{x^4}{4}+\frac{2}{3x}+C}\)

Ejercicio 13: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+1}dx\)

Dividiendo la integral en dos fracciones, y sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver propiedades de las integrales, se puede escribir como

\(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+1}dx= \displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}dx+\displaystyle\int\frac{1}{x^2+1}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+\arctan x+C}\)

 

Ejercicio 14: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x\ln (x+3)dx\)

Como en la expresión no aparece una función y su derivada (salvo constantes) y no es de tipo racional ni puede simplificarse, la integral se resuelve por partes.

Por lo tanto, identificando \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, se obtiene

\(u=\ln (x+3),\; du=\dfrac{1}{x+3}dx\) y \(dv=x,\; v=\dfrac{x^2}{2}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, queda,

\(\displaystyle\int x\ln (x+3)dx=\displaystyle\frac{x^2\ln (x+3)}{2}-\int\frac{x^2}{2(x+3)}dx\)

Dividiendo los polinomios resultantes en la integral se obtiene,

\(\displaystyle\frac{x^2\ln (x+3)}{2}-\int\frac{x^2}{2(x+3)}dx=\displaystyle\frac{x^2\ln (x+3)}{2}-\int x+3+\frac{9}{x+3}dx\)

Teniendo en cuenta que la suma de integrales es la integral de la suma (ver operaciones con integrales) y consultando además la tabla de integrales, se tiene

\(\displaystyle\frac{x^2\ln (x+3)}{2}-\int x+3+\frac{9}{x+3}dx=\displaystyle\frac{x^2\ln (x+3)}{2}-\frac{x^2}{2}+3x-9\ln (x+3)+C\)

De manera que el resultado es

\(\boxed{\displaystyle \frac{x^2\ln (x+3)}{2}-\frac{x^2}{2}+3x-9\ln (x+3)+C}\)

 

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