Ejercicio :(Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se consideran las matrices
\(A=\begin{pmatrix}0 &2\\ 3& 0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}-3 &8\\ 3& -5\end{pmatrix}\)
a) Calcúlense \(A^{-1}\)
b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por \(AX=B-I\), donde \(I\) es la matriz identidad
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo, ver inversa de una matriz
En este caso, \(\begin{array}{|crl|}0 &2\\ 3& 0\end{array}=0-6=-6\)
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}0 &-2\\ -3&0\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\begin{pmatrix}0 &\frac 13\\ \frac 12&0\end{pmatrix}}\)
b) La ecuación tendrá solución cuando sea posible despejar \(X\), es decir, cuando \(A\) tenga inversa ya que denotando \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) y sabiendo que \(I=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\), se tiene
\(AX=B-I\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}(B-I)\Rightarrow X=A^{-1}(B-I)\), ver ecuaciones matriciales
Como en el apartado anterior se ha calculado la inversa, es posible calcular \(X\) en este caso consultando el apartado de cómo multiplicar matrices, se tiene
\(X=A^{-1}(B-I)=\begin{pmatrix}0 &\frac 13\\ \frac 12&0\end{pmatrix}\Big[\begin{pmatrix}-3 &8\\ 3& -5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\Big]=\bbox[yellow]{\begin{pmatrix}1&-2\\ -2& 4\end{pmatrix}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real \(k\):
\(\displaystyle\begin{cases}kx+y=0&\\x+ky-2z=1& \\kx-3y+kz=0&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(k\)
b) Resuélvase el sistema en el caso \(k=1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar la teoría de un sistema de ecuaciones estudiado a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}k &1&0\\ 1&k& -2\\ k&-3& k\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}k &1&0&0\\ 1&k& -2&1\\ k&-3& k&0\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=k^3-2k+0-(0+k+6k)=k^3-9k=0\Rightarrow k=0\), \(k=-3\) y \(k=3\)
– Si \(k\neq 0,\pm 3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq 0,\pm 3}\)
– Si \(k=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}0 &1\\ 1& 0\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) todos los menores tres por tres tienen determinante nulo, luego, su rango será también dos
Por lo tanto, \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=0,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(k=3\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, se encuentra un menor tal que \(\begin{array}{|crl|}3 &1\\ 1& 3\end{array}=8\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En \(A^{*}\) se encuentra el menor \(3\times 3\) tal que
\(\begin{array}{|crl|}3 &1&0\\ 1& 3&1\\ 3& -3&0\end{array}\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=3,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(k=-3\), el determinante de \(A\) es nulo y se tiene el menor
\(\begin{array}{|crl|}-3 &1\\ 1& -3\end{array}=8\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Como en el caso \(k=3\), se encuentra en la matriz ampliada un menor tres por tres tal que
\(\begin{array}{|crl|}-3 &1&0\\ 1& -3&1\\ -3& -3&0\end{array}\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=-3,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(k=1\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=k^3-9k=-8\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}0 & 1 & 0 \\1 & 1 & -2\\0 & -3 &1\end{array}=-1\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 0 & 0 \\1 & 1 & -2\\1 & 0 &1\end{array}=1\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1\\1 & -3 &0\end{array}=4\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac 18,-\frac 18,-\frac 12)}\)