Ejercicios de Límites III

Ejercicio 1: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5}}{x}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5}}{x}=\frac{0}{0}\)

Queda una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del numerador (ver cómo resolver límites), obteniendo

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5}}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{5+x-5}{x(\sqrt{5+x}+\sqrt{5})}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{x}{x(\sqrt{5+x}+\sqrt{5})}\)

De lo que queda sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{5+x}+\sqrt{5}}=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{5}}}\)

Ejercicio 2: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{1-x}{\sqrt{10-x}-3}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{1-x}{\sqrt{10-x}-3}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador (ver cómo resolver límites), obteniendo

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{1-x}{\sqrt{10-x}-3}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}{10-x-9}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}{1-x}=\lim\limits_{x \to 1}\sqrt{10-x}+3\)

De lo que queda sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\sqrt{10-x}+3=\boxed{6}\)

 

Ejercicio 3: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del numerador (ver teoría de cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{x+7-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt{x+7}+3)}\)

De lo que queda sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt{x+7}+3)}=\boxed{\frac{1}{6}}\)

Ejercicio 4: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{x^3-8}{x-2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador se dividen los polinomios (ver cómo resolver límites), y se tiene (en este caso el resto es cero)

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\lim\limits_{x \to 2}x^2+2x+4\)

De lo que queda sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}x^2+2x+4=\boxed{12}\)

 

Ejercicio 5: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}3x-\sqrt{9x^2+2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}3x-\sqrt{9x^2+2}=\infty -\infty\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica y divide por el conjugado (\(3x+\sqrt{9x^2+2})\) (ver resolución de límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}3x-\sqrt{9x^2+2}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{9x^2-9x^2-2}{3x+\sqrt{9x^2+2}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-2}{3x+\sqrt{9x^2+2}}\)

Sustituyendo el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-2}{3x+\sqrt{9x^2+2}}=\boxed{0}\)

Ejercicio 6: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{2x}{\sqrt{3x^2-x}}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{2x}{\sqrt{3x^2-x}}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se divide en el numerador y en el denominador entre la potencia máxima de la \(x\) (en este caso entre \(x\)) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{2x}{\sqrt{3x^2-x}}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{2x}{x}}{\sqrt{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}}}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{2}{\sqrt{3-\frac{1}{x}}}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)

Ejercicio 7: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{\sqrt{9-x^2}}{x-3}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{\sqrt{9-x^2}}{x-3}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{\sqrt{9-x^2}}{x-3}=\lim\limits_{x \to 3}\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}=\boxed{-\infty}\)

 

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