Ejercicios de Matrices y determinantes III

Ejercicio 1: Encontrar un número real \(\lambda\neq 0\) y todas las matrices \(B\) de dimensión \(2\times 2\) (distintas de la matriz nula) tales que

\(B\begin{pmatrix}0 &\lambda\\ 1& 4\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}2 &1\\ 0& -1\end{pmatrix}\)

Considerando la matriz \(B=\begin{pmatrix}a &b\\ c& d\end{pmatrix}\), se tiene

\(\begin{pmatrix}a &b\\ c& d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &\lambda\\ 1& 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b\\ c& d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 &1\\ 0& -1\end{pmatrix}\)

De manera que multiplicando las matrices quedaría, ver cómo operar con matrices,

\(\begin{pmatrix}b &a\lambda +4b\\d& c\lambda +4d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a &a-b\\ 2c& c-d\end{pmatrix}\)

Es decir,

\(\begin{cases}b=&2a\\a\lambda +4b=&a-b\\d=& 2c\\ c\lambda +4d=& c-d\end{cases}\)

Sustituyendo el valor \(d=2c\) en la última ecuación, se obtiene
\(c\lambda +8c=c-2c\Rightarrow c\lambda +9c=0\Rightarrow c=0\; o\;\lambda=-9\)

Si \(c=0\Rightarrow d=0\)

Sustituyendo el valor de \(b=2a\) en la tercera ecuación se tiene

\(a\lambda +8a=a-2a\Rightarrow a=0\;o\;\lambda=-9\)

Luego, \(\lambda=-9\) y \(a,b,c\;y\;d\) pueden tener cualquier valor que no verifique \(a=b=c=d=0\) (ya que \(B\) no puede ser la matriz nula)

De esta forma el resultado final quedaría

\(\boxed{\lambda=-9,\; B=\begin{pmatrix}a &b\\ c& d\end{pmatrix},\;\hbox{con a, b, c y d que no cumplan } a=b=c=d=0}\)

Ejercicio 2: Resolver, en función de \(a\), el valor del determinante \(\begin{array}{|crl|}a & -2 & -a & 3\\1 & 2 & a & -3\\0 & 1 & 3& 2\\0 & -1 & 2& 1\end{array}\)

Para poder resolver el determinante se debe obtener uno de menor dimensión y aplicar directamente la regla de Sarrus para resolverlo. Para ello se suman y restan filas hasta conseguirlo, ver cómo resolver determinantes

En este caso, se suma la fila \(1\) y la fila \(2\) y se escriben en la posición de la fila \(1\):

\(\begin{array}{|crl|}a+1 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & a & -3\\0 & 1 & 3& 2\\0 & -1 & 2& 1\end{array}\)

Ahora el determinante puede escribirse como \((a+1)\begin{array}{|crl|}2 & a & -3\\1 & 3 & 2\\-1 & 2 & 1\end{array}\)

El determinante obtenido puede resolverse utilizando la regla de Sarrus, ver cómo resolver determinantes,

\((a+1)\begin{array}{|crl|}2 & a & -3\\1 & 3 & 2\\-1 & 2 & 1\end{array}=(a+1)(-2a-17-a)=\boxed{-(a+1)(17+3a)}\)

Ejercicio 3: Estudiar el rango de la matriz \(M\), según los valores de \(t\):

\(M=\begin{pmatrix}0 &1&4&1\\ t&6&3&0\\ 1&1&-1&t\end{pmatrix}\)

Como \(M\) tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(M\) será tres, ver rango de matrices

Tomando todos los menores \(3\times 3\) de \(M\) se tiene, ver cómo resolver determinantes,

\(\begin{array}{|crl|}0 & 1 & 4\\t & 6 & 3\\1 & 1 & -1\end{array}=5t-21=0\Rightarrow t=\dfrac{21}{5}\)

\(\begin{array}{|crl|}0 & 1 & 1\\t & 6 & 0\\1 & 1 & t\end{array}=t-t^2-6=0\Rightarrow t=\dfrac{-1\pm\sqrt{-23}}{-1}\Rightarrow\hbox{no hay valor de t que anule el determinante}\)

No hace falta comprobar los menores \(3\times 3\) que quedan ya que se ha encontrado uno cuyo determinante es siempre distinto de cero, independientemente de \(t\), luego el \(\boxed{\hbox{Rango de }M\hbox{ es } 3\hbox{ para todo }t}\)

Ejercicio 4: Demostrar que \(\begin{array}{|crl|}a & b & b & a\\a & c & b & b\\a & b & a& b\\a & c & c& b\end{array}=a(a-b)(c-b)^2\)

Como no es posible aplicar la Regla de Sarrus directamente, se busca tener una fila o una columna con todos sus elementos cero menos uno, ver cómo resolver determinantes

En este caso, se le resta a cada fila la primera y se escribe el resultado en el lugar que ocupaba dicha fila:

\(\begin{array}{|crl|}a & b & b & a\\0 & c-b & 0 & b-a\\0 & 0 & a-b& b-a\\0 & c-b & c-b& b-a\end{array}\)

De forma que ahora puede escribirse el determinante como

\(a.\begin{array}{|crl|}c-b & 0 & b-a\\0 & a-b & b-a\\c-b & c-b & b-a\end{array}\)

Ahora es posible aplicar la Regla de Sarrus, ver cómo resolver determinantes, obteniendo el resultado buscado

\(a(-(b-a)(c-b)^2)=\boxed{a(a-b)(c-b)^2}\)

Ejercicio 5: Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix}1 &-2&3\\ k&0&k\\ 1&k&-1\end{pmatrix}\)

1. Hallar los valores de \(k\) para los que la matriz \(A\) tiene inversa
2. Calcular \(A^{-1}\) para \(k=1\)

1. Para que \(A\) tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero, ver cómo calcular la inversa de una matriz

De forma que se comprueba para qué valores de \(k\) el determinante de \(A\) es distinto de cero, ver cómo calcular determinantes

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 3\\k & 0 & k\\1 & k & -1\end{array}=2k^2-4k=0\Rightarrow k=0\;o\;k=2\)

Es decir, \(\boxed{A \hbox{ tiene inversa siempre que }k\neq 0,2}\)

 

2. La matriz \(A\) con \(k=1\) sería \(A=\begin{pmatrix}1 &-2&3\\ 1&0&1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}\)

Para calcular su inversa se utilizará la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A^T)}{|A|}\), ver cómo calcular la inversa de una matriz

Primeramente se calculará su determinante y su matriz traspuesta:

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 &-2&3\\ 1&0&1\\ 1&1&-1\end{array}=-2\)

y

\(A^T=\begin{pmatrix}1 &1&1\\ -2&0&1\\ 3&1&-1\end{pmatrix}\)

y la matriz \(Adj(A^T)\) será, ver cómo calcular la matriz de adjuntos,

\(Adj(A^T)=\begin{pmatrix}-1 &1&-2\\ 2&-4&2\\ 1&-3&2\end{pmatrix}\)

De forma que la matriz inversa de \(A\) cuando \(k=1\) será \(\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac 12 &-\frac 12&1\\ -1&2&-1\\ -\frac 12&\frac 32&-1\end{pmatrix}}\)

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