Ejercicios de Matrices y determinantes IV

Ejercicio 6: Estudiar el rango de la matriz \(M\), según los valores de \(t\):

\(M=\begin{pmatrix}1 &2&3&1\\ 1&t&3&2\\ 1&8-3t&3&-2\end{pmatrix}\)

Como la matriz tiene tres filas, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices

Tomando un menor \(2\times 2\) de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes,

\(\begin{array}{|crl|}3 & 1\\3 & 2\end{array}=3\neq 0\Rightarrow Rg(A)\geq 2\)

Los menores que se pueden encontrar en la matriz y los correspondientes valores de \(t\) que anulan sus respectivos determinantes, son

\(\begin{array}{|crl|}1 & 2 & 3\\1 & t & 3\\1 & 8-3t & 3\end{array}=0\)

\(\begin{array}{|crl|}1 & 2 & 1\\1 & t & 2\\1 & 8-3t & -2\end{array}=0\)

\(\begin{array}{|crl|}1 & 3 & 1\\1 & 3 & 2\\1 & 3 & -2\end{array}=0\)

\(\begin{array}{|crl|}2 & 3& 1\\t & 3 & 2\\8-3t & 3 & -2\end{array}=0\)

De manera que, \(\boxed{el\; rango\; de\; A\; es\; 2\; para\; todo\; valor\; de\; t}\)

Ejercicio 7: Determinar el rango de la matriz \(A\), según los valores de \(a\):

\(A=\begin{pmatrix}1 &0&-a&-1\\ 1&a+3&4-a&0\\ 1&a+3&a^2+2&a+2\end{pmatrix}\)

Como la matriz tiene tres filas, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices

Tomando un menor \(3\times 3\) de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes,

\(\begin{array}{|crl|}1 & 0&-a\\1 & a+3&4-a\\1 & a+3&a^2+2\end{array}=(a+3)(a^2+a-2)= 0\)

Se obtienen tres soluciones: \(a=1\), \(a=-2\) y \(a=-3\), ver cómo calcular raíces de polinomios

- Si \(a=1\), \(A\) será

\(A=\begin{pmatrix}1 &0&-1&-1\\ 1&4&3&0\\ 1&4&3&3\end{pmatrix}\)

Dentro de la matriz \(A\) puede encontrarse un menor \(3\times 3\) cuyo determinante es distinto de cero:

\(\begin{array}{|crl|}0 & -1 & -1\\4 & 3 & 0\\4 & 3 & 3\end{array}\neq 0\)

Luego, \(\hbox{si } a=1,\;Rg(A)=3 \)

- Si \(a=-2\), \(A\) ser escribe como

\(A=\begin{pmatrix}1 &0&2&-1\\ 1&1&6&0\\ 1&1&6&0\end{pmatrix}\)

Dentro de la matriz \(A\) hay dos filas que son iguales (las dos últimas), luego el rango será menor o igual a dos. Tomando uno de sus menores \(2\times 2\) y calculando su determinante se tiene

\(\begin{array}{|crl|}1 & 0 \\1 & 1\end{array}\neq 0\)

Luego, \(\hbox{si } a=-2,\;Rg(A)=2 \)

- Si \(a=-3\), \(A\) queda

\(A=\begin{pmatrix}1 &0&3&-1\\ 1&0&7&0\\ 1&0&11&-1\end{pmatrix}\)

Dentro de la matriz \(A\) se puede tomar un menor \(3\times 3\) y calcular su determinante, obteniendo

\(\begin{array}{|crl|}1 & 3&-1 \\1 & 7&0\\1 & 11&-1\end{array}\neq 0\)

Luego, \(\hbox{si } a=-3,\;Rg(A)=3 \)

De esta forma se tiene como resultado final que \(\boxed{\hbox{Si }a=-2,\;Rg(A)=2.\;\hbox{Si }a\neq -2,\; Rg(A)=3}\)

Ejercicio 8: Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix}0 &a&0\\ 0&0&a\\ 0&0&0\end{pmatrix}\)

1. Hallar \(A^n\) para todo entero positivo \(n\)

2. Calcular, si existe, la inversa de \(A\)

1. La matriz elevada a \(1\) es \(A^1=\begin{pmatrix}0 &a&0\\ 0&0&a\\ 0&0&0\end{pmatrix}\)
y consultando cómo operar con matrices, se tiene

\(A^2=\begin{pmatrix}0 &a&0\\ 0&0&a\\ 0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &a&0\\ 0&0&a\\ 0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0&a^2\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\)

\(A^3=A^4=\begin{pmatrix}0 &0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\)

Es decir, \(A^n\) puede escribirse como \(\boxed{A^n=\displaystyle\begin{cases}\begin{pmatrix}0 &a&0\\ 0&0&a\\ 0&0&0\end{pmatrix}&\hbox{si }n=1\\\begin{pmatrix}0 &0&a^2\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}&\hbox{si }n=2 \\\begin{pmatrix}0 &0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}&\hbox{si }n\geq 3 \\\end{cases}}\)

2. Calculando el determinante de \(A\) se tiene que, ver cómo resolver determinantes,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}0 & a & 0\\0 & 0 & a\\0 & 0 & 0\end{array}=0\)

Por lo que como el determinante es cero, \(\boxed{\hbox{independientemente del valor de }a,\;\hbox{no existe inversa para }A}\)

Ejercicio 9: Calcular el rango de la siguiente matruz según los diferentes valores del parámetro \(a\)

\(A=\begin{pmatrix}2 &0&a&2\\ -1&0&-1&3\\ 5&a+4&-4&-3\end{pmatrix}\)

La matriz es de dimensión \(3\times 4\), lo que quiere decir que el rango de la matriz será a lo máximo tres

Considerando los menores \(3\times 3\) en la matriz \(A\), se tiene

\(A_1=\begin{pmatrix}2&0&a\\-1&0&-1\\5&a+4&-4\end{pmatrix}\)

\(A_2=\begin{pmatrix}2&0&2\\-1&0&3\\5&a+4&-3\end{pmatrix}\)

\(A_3=\begin{pmatrix}2&a&2\\-1&-1&3\\5&-4&-3\end{pmatrix}\)
y
\(A_4=\begin{pmatrix}0&a&2\\0&-1&3\\a+4&-4&-3\end{pmatrix}\)

Calculando sus determinantes se obtiene, ver cómo resolver determinantes,

\(|A_1|=0\Rightarrow a=-4,\;a=2\)
\(|A_2|=0\Rightarrow a=-4\)
\(|A_3|=0\Rightarrow a=-4\)
y
\(|A_4|=0\Rightarrow a=-4,\;a=-\frac 23\)

Por lo que el único valor de \(a\) que anula todos los determinantes es \(a=-4\). Teniendo además que el menor \(\begin{array}{|crl|}2 & 2\\-1 & 3\end{array}\neq 0\), se concluye

\(\boxed{\hbox{Si }a=-4,\;\hbox{el rango es }2.\;\hbox{Si }a\neq 4,\;\hbox{el rango es }3}\)

Ejercicio 10: Hallar \(X\) tal que \(AX+B=0\), siendo

\(A=\begin{pmatrix}-1 &0&1\\ 2&3&-2\\ 1&-1&0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1 &-1\\ 2&3\\ -1&0\end{pmatrix}\)

Multiplicando a un lado y a otro del igual por la inversa de \(A\) en la expresión dada en el enunciado se obtiene, ver cómo operar con matrices,

\(AX+B=0\Rightarrow AX=-B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}(-B)\Rightarrow X=A^{-1}(-B)\)

Así que lo primero será calcular la inversa de la matriz \(A\), ver cómo calcular inversas y cómo resolver determinantes,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}-1 & 0&1\\2 & 3&-2\\1 & -1&0\end{array}=-3\neq 0\)

Para utilizar la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A^T)}{|A|}\), se halla primeramente \(Adj(A^T)\)

\(Adj(A^T)=\begin{pmatrix}-2 &-1&-3\\ -2&-1&0\\ -5&-1&-3\end{pmatrix}\)

De forma que \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac 23 &\frac 13&1\\ \frac 23&\frac 13&0\\ \frac 53&\frac 13&1\end{pmatrix}\)

por otra parte, \(-B=\begin{pmatrix}-1 &1\\ -2&-3\\ 1&0\end{pmatrix}\)

Así que \(X\) será, ver cómo operar con matrices,

\(X=A^{-1}(-B)=\begin{pmatrix}\frac 23 &\frac 13&1\\ \frac 23&\frac 13&0\\ \frac 53&\frac 13&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 &1\\ -2&-3\\ 1&0\end{pmatrix}\Rightarrow \boxed{X=\begin{pmatrix}0 &-\frac 13\\ -1&-\frac 13\\ -1&\frac 23\end{pmatrix}}\)

Ejercicio 11: Resolver, si es posible, la siguiente ecuación matricial

\(\begin{pmatrix}2 &-1&4\\ -2&1&3\\ 1&-\frac 12&2\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1 &2\\ 0&-1\\ 3&1\\ 6&-4\end{pmatrix}\)

Se trata de una ecuación matricial de la forma \(AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\), lo que quiere decir que será posible encontrar \(X\) si la matriz \(A\) tiene inversa, \(A^{-1}\), ver cómo calcular la inversa de una matriz

En este caso, \(|A|=0\), ver cómo resolver determinantes, por lo que no puede tener inversa y, por tanto, \(\boxed{\hbox{no se puede resolver}}\)

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