Ejercicios de Matrices y determinantes I

Ejercicio 1: Sea \(A\) una matriz \(m\times n\)

1. ¿Existe una matriz \(B\) tal que \(BA\) sea una matriz fila? Si existe, ¿qué orden tiene?

2. ¿Se puede encontrar una matriz \(B\) tal que \(AB\) sea una matriz fila? Si existe, ¿qué orden tiene?

3. Encontrar una matriz \(B\) tal que \(BA=(0\quad 0)\) siendo \(A=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2& 1\\0&0\end{pmatrix}\)

1. Para que la matriz \(B\) se pueda multiplicar por una matriz \(A\) de dimensión \(m\times n\), \(B\) tiene que tener por dimensión \(p\times m\), ver cómo multiplicar matrices. Para que la matriz resultante \(BA\) sea una matriz fila, \(p=1\) y su dimensión sería \(1\times m\)

2. Para que la matriz \(A\) de dimensión \(m\times n\) se pueda multiplicar por una matriz \(B\), ésta matriz \(B\) tiene que tener por dimensión \(n\times p\), ver cómo multiplicar matrices. La matriz resultante \(BA\) tendría una dimensión de \(m\times p\), de forma que para que la matriz resultante fuera una matriz fila, \(m\) tendría que ser \(1\)

3. Para que \(BA=(0\quad 0)\), es necesario que \(B\) tenga dimensión \(1\times 3\), ver cómo multiplicar matrices

De forma que \(B=\begin{pmatrix}a &b& c\end{pmatrix}\) y

\(\begin{pmatrix}a &b& c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0\\ 2& 1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2b &b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0\end{pmatrix}\Rightarrow a=0\quad b=0\) y el parámetro \(c\) puede ser cualquier cosa

De manera que el resultado sería

\(\boxed{B=\begin{pmatrix}0 &0& c\end{pmatrix}}\)

 

 

Ejercicio 2: Resolver la ecuación \(x^4+x^2-x-3-\begin{array}{|crl|}x & 1 & 1 & 0\\1 & x & 0 & -1\\-1 & -1 & x& 1\\1 & 0 & -1& -x\end{array}=0\)

Restando a la columna \(1\) la columna \(3\) multiplicada por \(x\) y escribiéndola en el lugar de la columna \(1\), quedaría \(C_1=C_1-xC_3\),

\(x^4+x^2-x-3-\begin{array}{|crl|}0 & 1 & 1 & 0\\1 & x & 0 & -1\\-1-x^2 & -1 & x& 1\\1+x^2 & 0 & -1& -x\end{array}=0\)

Restando ahora la columna \(2\) a la columna \(3\) y escribiéndola en el lugar de la columna \(3\) quedaría \(C_3=C_3-C_2\),

\(x^4+x^2-x-3-\begin{array}{|crl|}0 & 1 & 0 & 0\\1 & x & -x & -1\\-1-x^2 & -1 & x+1& 1\\1+x^2 & 0 & -1& -x\end{array}=0\)

De manera que puede escribirse como, ver cómo se resuelven determinantes,

\(x^4+x^2-x-3-(-1)\begin{array}{|crl|}1 & -x & -1\\-1-x^2 & x+1 & 1\\1+x^2 & -1 & -x\end{array}=0\)

Resolviendo el determinante por el Método de Sarrus, ver cómo se resuelven determinantes, se obtiene

\(x^4+x^2-x-3-(-1)(-x^4-2x^2-x-1)=x^4+x^2-x-3-x^4+2x^2+x+1=0\)

De esta forma se tiene que resolviendo la ecuación resultante se tiene la solución buscada

\(x^2+2x+4=0\Rightarrow (x+2)^2=0\Rightarrow\boxed{x=-2\quad\hbox{(doble)}}\)

Ejercicio 3: Sea \(A\) una matriz tal que \(A^2=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0& 0\end{pmatrix}\),

1. ¿Cuál es el valor del determinante de \(A\)?

2. Decir si es posible que exista un número \(k\) tal que \(\big[\begin{pmatrix}2 &-1\\ 5& 0\end{pmatrix}-k\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\big]^2=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0& 0\end{pmatrix}\)

1. Como \(A^2=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0& 0\end{pmatrix}\), utilizando la regla de Sarrus se tiene, ver la Regla de Sarrus,

\(|A^2|=0\Rightarrow |AA|=|A||A|=0\Rightarrow \boxed{|A|=0}\)

2. Teniendo en cuenta cómo se opera con matrices, ver operaciones con matrices, se tiene que

\(\big[\begin{pmatrix}2 &-1\\ 5& 0\end{pmatrix}-k\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\big]^2=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-k &-1\\ 5& -k\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}2-k &-1\\ 5& -k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-k &-1\\ 5& -k\end{pmatrix}\)

Multiplicando las matrices se obtiene,

\(\big[\begin{pmatrix}2 &-1\\ 5& 0\end{pmatrix}-k\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\big]^2=\begin{pmatrix}4-4k+k^2-5 &k-2+k\\ 10-5k-5k& -5+k^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k^2-4k-1 &2k-2\\ 10-10k& -5+k^2\end{pmatrix}\)

De manera que quedaría

\(\begin{pmatrix}k^2-4k-1 &2k-2\\ 10-10k& -5+k^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0& 0\end{pmatrix}\)

Es decir, se obtiene el siguiente sistema

\(\displaystyle\begin{cases}k^2-4k-1=&0\\2k-2=&0 \\10-10k=&0\\k^2-5=&0 \\\end{cases}\)

De la segunda y tercera ecuación se obtiene \(k=1\), en cambio de la última ecuación se concluye que \(k=\sqrt{5}\)

De forma que \(\boxed{no\; hay\; un\; valor\; de\; k\; que\; cumpla\; lo\; pedido\; en\; el\; enunciado}\)

 

Ejercicio 4: Determinar el rango de la matriz \(A\), según los valores de \(k\):

\(A=\begin{pmatrix}k &1&-2&0\\ -1&-1&k&1\\ 1&1&1&k\end{pmatrix}\)

La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices

Tomando un menor \(3\times 3\) de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes,

\(\begin{array}{|crl|}k & 1 & -2\\-1 & -1 & k\\1 & 1 & 1\end{array}=-k^2+1=0\Rightarrow k=\pm 1\)

Si \(k=1\), \(A\) quedaría como

\(A=\begin{pmatrix}1 &1&-2&0\\ -1&-1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\)

Como la Columna \(1\) y la Columna \(2\) son iguales, el determinante de la matriz puede escribirse como,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 0\\-1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\neq 0\)

De manera que el rango de \(A\) será, en este caso, tres

Si \(k=-1\), \(A\) quedaría como

\(A=\begin{pmatrix}-1 &1&-2&0\\ -1&-1&-1&1\\ 1&1&1&-1\end{pmatrix}\)

De nuevo, la Columna \(1\) y la Columna \(2\) son iguales, de forma que el determinante de la matriz puede escribirse como

\(|A|=\begin{array}{|crl|}-1 & -2 & 0\\-1 & -1 & 1\\1 & 1 & -1\end{array}=0\Rightarrow Rg(A)\neq 3\)

Tomando un menor \(2\times 2\) de la matriz, se tiene \(\begin{array}{|crl|}-2 & 0\\-1 & 1\end{array}\neq 0\)

Por lo tanto, en este caso, el rango de \(A\) es dos, ver rango de una matriz

El resultado final sería: \(\boxed{Si\;h=-1,\;Rg(A)=2,\quad si\; k\neq -1,\; Rg(A)=3}\)

Ejercicio 5: Calcular, si es posible, para los casos \(a=0\) y \(a=-1\), la inversa de la matriz:

\(A=\begin{pmatrix}a &1&2\\ 1&1&0\\ 0&a-1&a\end{pmatrix}\)

-Si \(a=0\), \(A\) puede escribirse como

\(A=\begin{pmatrix}0 &1&2\\ 1&1&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}\)

Para que una matriz tenga inversa, el determinante ha de ser distinto de cero, ver cómo calcular la inversa de una matriz

En este caso, si \(a=0\), \(|A|=0\), ver cómo resolver determinantes. Luego, \(A\) no tiene inversa en este caso: \(\boxed{si\; a=0,\;A\;\hbox{no tiene inversa}}\)

-Si \(a=-1\), \(A\) sería

\(A=\begin{pmatrix}-1 &1&2\\ 1&1&0\\ 0&-2&-1\end{pmatrix}\)

Primeramente se calcula del determinantee la matriz, ver cómo calcular la inversa de una matriz y cómo resolver determinantes

\(|A|=\begin{array}{|crl|}-1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0\\0 & -2 & -1\end{array}=-2\neq 0\)

Luego, existe la inversa \(A^{-1}\) cuando \(a=-1\). Para calcularla de utilizará la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A^T)}{|A|}\), ver cómo calcular la inversa de una matriz

Primeramente se calculará la matriz traspuesta:

\(A^T=\begin{pmatrix}-1 &1&0\\ 1&1&-2\\ 2&0&-1\end{pmatrix}\)

y la matriz \(Adj(A^T)\) será, ver cómo calcular la matriz de adjuntos, \(Adj(A^T)=\begin{pmatrix}-1 &-3&-2\\ 1&1&2\\ -2&-2&-2\end{pmatrix}\)

De forma que la matriz inversa de \(A\) cuando \(a=-1\) será

\(\boxed{Si\;a=-1,\;A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac 12 &\frac 32&1\\ -\frac 12&-\frac 12&-1\\ 1&1&1\end{pmatrix}}\)

 

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