Ejercicios de Matrices y determinantes II

Ejercicio 6: Determinar el rango de la matriz \(A\), según los valores de \(a\):

\(A=\begin{pmatrix}1 &a&2&0\\ -1&a&1&2\\ 1&2&a&5\end{pmatrix}\)

Como la matriz tiene tres filas, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices

Tomando un menor \(2\times 2\) de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes,

\(\begin{array}{|crl|}2 & 0\\1 & 2\end{array}=4\neq 0\Rightarrow Rg(A)\geq 2\)

Los menores que se pueden encontrar en la matriz y los correspondientes valores de \(a\) que anulan sus respectivos determinantes, son

\(\begin{array}{|crl|}1 & a & 2\\-1 & a & 1\\1 & 2 & a\end{array}=2a^2-a-6=0\Rightarrow a=2,\; a=-\dfrac 32\)

\(\begin{array}{|crl|}1 & a & 0\\-1 & a & 2\\1 & 2 & 5\end{array}=2a-4=0\Rightarrow a=2\)

\(\begin{array}{|crl|}1 & 2& 0\\-1 & 1 & 2\\1 & a & 5\end{array}=9+10-2a=0\Rightarrow a=\dfrac{19}{2}\)

\(\begin{array}{|crl|}a & 2& 0\\a & 1 & 2\\2 & a & 5\end{array}=-2a^2-5a+8=0\Rightarrow a=\dfrac{-5\pm\sqrt{89}}{4}\)

Como no existe un valor de \(a\) para el que todos los determinantes de los menores \(3\times 3\) de \(A\) se anulen, \(\boxed{el\; rango\; de\; A\; es\; 3\; para\; todo\; valor\; de\; a}\)

Ejercicio 7: Dada la matriz:

\(A=\begin{pmatrix}1 &\lambda&-1\\ 1&2&\lambda\\ 2&\lambda&-1\end{pmatrix}\)

1. Encontrar los valores de \(\lambda\), si los hay, para los que la matriz no es inversible
2. Calcular \(A^{-1}\) para \(\lambda=0\)

1. Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de cero, ver cómo calcular inversas

De forma que primero se comprobarán los valores de \(\lambda\) para los que \(A\) tiene determinante igual a cero

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & \lambda& -1\\1 & 2 & \lambda\\2 & \lambda & -1\end{array}=\lambda ^2+2=0\Rightarrow\lambda^2=-2\)

De manera que el determinante de \(A\) nunca será cero y, por tanto, \(\boxed{A\; tiene\; inversa\; para\; todo\; valor\; de\; \lambda}\)

2. La matriz con \(\lambda=0\) será \(A=\begin{pmatrix}1 &0&-1\\ 1&2&0\\ 2&0&-1\end{pmatrix}\)

y, ver cómo resolver determinantes,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & 0& -1\\1 & 2 & 0\\2 & 0 & -1\end{array}=2\)

La matriz adjuntos de la traspuesta de \(A\) es, ver cómo calcular la inversa de una matriz,

\(Adj(A^{T})=\begin{pmatrix}-2 &0&2\\ 1&1&-1\\ -4&0&2\end{pmatrix}\)

Utilizando la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A^{T})}{|A|}\), la inversa quedaría como

\(\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 &0&1\\ \frac 12&\frac 12&-\frac 12\\ -2&0&1\end{pmatrix}}\)

Ejercicio 8: Sea la matriz \(A=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}\) y sea \(n\) un número natural cualquiera. Determinar el valor de \(A^n\) para cada \(n\) y hallar \(A^{1000}-A^{525}\)

La matriz elevada a \(1\) es \(A^1=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}\)
y consultando cómo operar con matrices, se tiene

\(A^2=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 4&1\end{pmatrix}\)

y

\(A^3=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}^2\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0\\ 2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 6&1\end{pmatrix}\)

Observando las primeras potencias de \(A\) puede concluirse que \(A^n\) será \(\boxed{A^n=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2n&1\end{pmatrix}}\)

Utilizando la fórmula para calcular \(A^{1000}-A^{525}\), se tiene

\(A^{1000}-A^{525}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 2000&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 &0\\ 1050&1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}1 &0\\ 950&1\end{pmatrix}}\)

Ejercicio 9: Sean las matrices

\(A=\begin{pmatrix}-1 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2 &3\\ 1&-1\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}0 &1\\ 1&-1\end{pmatrix}\)

Resolver la ecuación \(AX-A=B-C\)

Para hallar \(X\) se despeja de la ecuación matricial dada en el enunciado, ver cómo operar con matrices,

\(AX-A=B\Rightarrow A(X-I)=B-C\Rightarrow X-I=A^{-1}(B-C)\Rightarrow X=A^{-1}(B-C)+I\)

De forma que, primeramente, ha de hallarse la inversa de la matriz \(A\), ver cómo calcular inversas

En este caso, \(A^{-1}=A=\begin{pmatrix}-1 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\)

Luego,

\(X=\begin{pmatrix}-1 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\Big(\begin{pmatrix}2 &3\\ 1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 &1\\ 1&-1\end{pmatrix}\Big)+\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix}\)

Consultando cómo operar con matrices, se obtiene \(\boxed{X=\begin{pmatrix}-1 &-2\\ 2&3\end{pmatrix}}\)

Ejercicio 10: Una matriz cuadrada\(A\) tiene la propiedad de que \(A^2=2A+I\), con \(I\) es la matriz identidad

1. Demostrar que \(A\) admite inversa y obtenerla en función de \(A\)

2. Dada la matriz \(B=\begin{pmatrix}2-m &2\\ 2&2+m\end{pmatrix}\), hallar los valores de \(m\) que verifican \(B^2=2B+C\), con \(C=\begin{pmatrix}7 &4\\ 4&7\end{pmatrix}\)

1. Por ser \(A\) una matriz cuadrada, cumple

\(A^2=2A+I\Rightarrow A^2-2A=I\Rightarrow (A-2I)A=I\Rightarrow\boxed{A^{-1}=A-2I}\)

2. En primer lugar se calcula la matriz \(B^2\), ver cómo operar con matrices,

\(B^2=\begin{pmatrix}2-m &2\\ 2&2+m\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}2-m &2\\ 2&2+m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-m &2\\ 2&2+m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(2-m)^2+4 &4-2m+4+2m\\ 4-2m+4+2m&4+(2+m)^2\end{pmatrix}\)

Por otra parte se calcula \(2B+C\),

\(2B+C=2\begin{pmatrix}2-m &2\\ 2&2+m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7 &4\\ 4&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11-2m &8\\ 8&11+2m\end{pmatrix}\)

Luego, tiene que cumplirse que

\(\begin{pmatrix}(2-m)^2+4 &4-2m+4+2m\\ 4-2m+4+2m&4+(2+m)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11-2m &8\\ 8&11+2m\end{pmatrix}\)

De forma que quedarían las ecuaciones

\(\begin{cases}(2-m)^2+4=&11-2m\\4+(2+m)^2=&11+2m\\\end{cases}\)

De cada ecuación se obtiene un polinomio igualado a cero: \(m^2-2m-3=0\;y\;m^2+2m-3=0\) y, por lo tanto, ver cómo obtener raíces de polinomios

De manera que los valores de \(m\) para los que se cumple \(B^2=2B+C\) son \(\boxed{m=\pm 1,\;\pm 3}\)

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