Ejercicios de Continuidad y derivabilidad II

Ejercicio 1: Encontrar los valores de \(k\) para los que la función \(\displaystyle\begin{cases}x-k^2&x<2\\\frac k2 x^2&x\geq 2\\\end{cases}\) es continua en todo \(\mathbb{R}\)

La función está formada por dos polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es \(x=2\) (continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\frac k2 x^2=f(2)=2k\)

\(\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}x-k^2=2-k^2\)

Para que la función sea continua en \(x=2\) se debe tener \(\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)\)(ver continuidad)

De manera que para que la función sea continua en \(x=2\), tiene que cumplirse que

\(2-k^2=2k\Rightarrow k^2+2k-2=0\)

Resolviendo el polinomio en \(k\) (ver cómo se resuelven polinomios), queda que para que la función sea continua en \(x=2\) (y de esta forma en todo \(\mathbb{R}\)),

\(\boxed{\displaystyle k=-1\pm\sqrt{3}}\)

Ejercicio 2: Calcular \(a\) para que la función \(\displaystyle\begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3}&x\neq 3\\\ a&x=3\\\end{cases}\) sea continua en \(x=3\)

Para comprobar si la función es continua en \(x=3\) se evalúan los límites laterales y la función en ese punto.

\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\frac 00\)

Se ha obtenido una indeterminación (ver indeterminaciones), así que para resolverla se factoriza el numerador (ver cómo se resuelven límites),

\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3^{-}}x+3=6\)

Evaluando la función en el punto \(x=3\) se obtiene \(f(3)=a\)

De manera que para que \(f(x)\) sea continua en \(x=3\), se tiene que tener \(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=f(3)\) (ver continuidad), y esto concluye el resultado del ejercicio:

\(\boxed{a=6}\)

 

Ejercicio 3: Hallar los parámetros \(a\) y \(b\) para los cuales la función \(\displaystyle\begin{cases}\frac{5ax^2}{6}-bx+1&x\leq 1\\ax^3+bx^2&x>1\\\end{cases}\) es continua y derivable

La función está formada por dos polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre estos dos polinomios, \(x=1\) (ver continuidad)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}ax^3+bx^2=a+b\)

\(\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{5ax^2}{6}-bx+1=f(1)=\frac{5a}{6}-b+1\)

Para que la función sea continua en \(x=1\) se debe tener \(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)\)(ver continuidad de funciones)

De manera que para que la función sea continua en \(x=1\), tiene que cumplirse que

\(\frac{5a}{6}-b+1=a+b\Rightarrow b=-\frac{a}{12}+\frac 12\)

EL enunciado pide que \(f(x)\) sea además derivable, por lo que se debe mirar también la función derivada, \(f'(x)\),

\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{10xa}{6}-b&x\leq 1\\3ax^2+2bx&x>1\\\end{cases}\)

Para comprobar que la función es derivable en \(x=1\), se mira el valor de la derivada \(f'(x)\) cuando la \(x\) se acerca a dicho punto (ver derivabilidad de una función),

\(f'(1^{-})=\frac{10a}{6}-b\) y \(f'(1^{+})=3a+2b\)

Luego, para que sea derivable en ese punto tiene que darse \(f'(1^{-})=f'(1^{+})\), por lo tanto

\(\displaystyle\frac{10a}{6}-b=3a+2b\)

Despejando el parámetro \(b\) en la expresión anterior se obtiene que

\(b=\displaystyle-\frac{8a}{18}\)

Igualando las dos expresiones obtenidas para \(b\), se tiene

\(-\displaystyle\frac{a}{12}+\frac 12=-\displaystyle\frac{8a}{18}\)

Despejando \(a\) de la igualdad anterior queda \(a=-\frac{36}{26}\). Incluyendo este valor obtenido en una de las expresiones para \(b\) se concluye el resultado:

Para que \(f(x)\) sea continua y derivable en \(x=1\) se tiene que tener

\(\boxed{a=-\dfrac{36}{26},\quad b=-\dfrac{8a}{18}}\)

Ejercicio 4: Hallar los parámetros \(a\) y \(b\) para los cuales la función \(\displaystyle\begin{cases}\ln x&0 es continua en \(x=1\), sabiendo además que \(f(2)=3\)

Para comprobar si la función es continua en \(x=1\) se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}ax^2+b=f(1)=a+b\)

\(\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\ln x=0\)

Para que la función sea continua en \(x=1\) se debe tener \(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)\)(ver continuidad)

De manera que para que la función sea continua en \(x=1\), tiene que cumplirse que

\(a+b=0\Rightarrow a=-b\)

El enunciado aporta también el siguiente dato: \(f(2)=3\), es decir

\(3=f(2)=4a+b\)

Incluyendo el despeje de \(a\) en esta expresión, se obtiene

\(3=-4b+b\Rightarrow b=-1\)

De esta forma se obtiene el resultado final:

\(\boxed{a=1,\quad b=-1}\)

 

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