Ejercicios de Polinomios III

Ejercicio 1: Descomponer el polinomio \(P(x)=x^3-3x^2-10x\) como producto de factores de grado uno

Reescribiendo el polinomio como \(P(x)=x(x^2+3x-10)\).

Resolviendo el polinomio \(x^2+3x-10=0\) (ver cómo resolver polinomios) se obtienen las soluciones \(x=2, x=-5\).

Siendo el resultado final:

\(\boxed{P(x)=x(x-2)(x+5)}\)

Ejercicio 2: Descomponer el polinomio \(P(x)=x^3-4x^2+3x+2\) como producto de factores de grado uno

Haciendo Ruffini (probando con los divisores del término independiente; \(\pm 1\; y\; \pm 2\), ver la teoría de resolución de polinomios) se obtiene que una de las raíces del polinomio es \(x=2\), dividiendo \(P(x)\) entre \((x-2)\) (u observando el resto que queda al hacer Ruffini) se concluye que

\(P(x)=(x-2)(x^2-2x-1)\).

Resolviendo el polinomio \(x^2-2x-1=0\) (ver la teoría de resolución de polinomios) se obtienen las soluciones \(x=1\pm\sqrt{2}\).

Siendo el resultado final:

\(\boxed{P(x)=(x-2)(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})}\)

 

Ejercicio 3: Descomponer el polinomio \(P(x)=2x^3+2x^2-4x-4\) como producto de factores de grado uno

Haciendo Ruffini (probando con los divisores del término independiente; \(\pm 1, \pm 2\; y\; \pm 4\),ver cómo resolver polinomios) se obtiene que una de las raíces del polinomio es \(x=-1\), dividiendo \(P(x)\) entre \((x+1)\) (u observando el resto que queda al hacer Ruffini) se concluye que

\(P(x)=(x+1)(2x^2-4)\).

Sabiendo que \(2x^2-4=(\sqrt{2}x-2)(\sqrt{2}x+2)\), el resultado final es:

\(\boxed{P(x)=(x+1)(\sqrt{2}x-2)(\sqrt{2}x+2)}\)

Ejercicio 4: Calcular las soluciones reales de \(\displaystyle\frac{3x-5}{x+2}=\frac{4x+6}{x-1}\)

Multiplicando en cruz se obtiene,

\(3x^2-3x-5x+5=4x^2+6x+8x+12\Rightarrow x^2+22x+7=0\)

Hallando las raíces del polinomio (ver la teoría de resolución de polinomios) se tiene que el resultado final es:

\(\boxed{x=-0.32, x=-21.67}\)

Ejercicio 5: Calcular las soluciones reales de \(\displaystyle\frac{x+1}{x^2-3x}=\frac{1-x}{x^2+3x}\)

Multiplicando en cruz se obtiene,

\(x^3+3x^2+x^2+3x=x^2-x^3-3x+3x^2\Rightarrow 2x^3+6x=0\)

Sacando factor común \(x\) se obtiene (ver la teoría de resolución de polinomios),

\(x(2x^2+6)=0\Rightarrow x=0\quad y\quad x=\pm\sqrt{-3}\)

La segunda y tercera raíz, \(\pm\sqrt{-3}\), no son reales, así que el resultado final es \(\boxed{x=0}\)

 

Ejercicio 6: Escribir la siguiente expresión como un polinomio de grado 3 \(\displaystyle\frac{5x-1}{x^2-4}+\frac{3x}{x+2}=\frac{6}{x^2-4x-12}\)

Resolviendo el polinomio \(x^2-4x-12=0\) se obtiene que \(x^2-4x-12=(x+2)(x-6)\).

El primer denominador se puede escribir como \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

El mínimo común denominador es \((x-2)(x+2)(x-6)\), así que multiplicando los numeradores por el término correspondiente resulta:

\((5x-1)(x-6)+3x(x-2)(x-6)=6(x-2)\Rightarrow 5x^2-x-30x+6+(3x^2-6x)(x-6)=6x-12\)

Agrupando términos queda un polinomio de grado 3

\(\boxed{3x^3-19x^2+29x-12=0}\)

Ejercicio 7: Calcular las soluciones reales de \(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}\)

Multiplicando en cruz para no tener denominadores, se obtiene

\(x^2-1=x^3-x-x^2+1\Rightarrow x^3-2x^2-x+2=0\)

Haciendo Ruffini (probando con los divisores del término independiente; \(\pm 1\; y\; \pm 2\), ver la teoría de resolución de polinomios) se obtiene que \(x=1\) es una raíz del polinomio.

El polinomio resultante de dividir \(x^3-2x^2-x+2\) entre \(x-1\) (polinomio resultante al hacer Ruffini) es \(x^2-x-2=0\), cuyas raíces son \(x=-1\quad y\quad x=2\) (ver la cómo resolver polinomios).

De manera que el resultado final es:

\(\boxed{x=-1, x=1\quad y\quad x=2}\)

Ejercicio 8: Resolver la ecuación \(\displaystyle\frac{x+3}{x^2-3x+2}-\frac{2}{x-2}=\frac{x}{x+1}\)

El polinomio \(x^2-3x+2\) tiene como raíces \(x=2\quad y\quad x=1\)(ver la teoría de resolución de polinomios).

El mínimo común denominador de las tres fracciones es \((x-2)(x-1)(x+1)\).

Multiplicando los numeradores por el término correspondiente se obtiene la ecuación:

\(x+3-2(x+1)=x(x-2)\Rightarrow x+3-2x-2=x^2-2x\Rightarrow x^2-x-1=0\)

Resolviendo el último polinomio (ver cómo obtener raíces de polinomios) se obtiene que el resultado final es \(\boxed{x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

 

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