Posiciones relativas y puntos simétricos

Posición relativa entre dos rectas \(r_1\) y \(r_2\)

Si los vectores directores \(\vec{v_{r_1}}\) y \(\vec{v_{r_2}}\) son iguales o proporcionales, las rectas \(r_1\) y \(r_2\) serán paralelas.
También puede comprobarse que las rectas son paralelas si su pendiente es la misma, ver cómo calcular la pendiente de una recta

Si los vectores directores no son proporcionales, las rectas NO serán paralelas y o se cortarán o se cruzarán. Para ver si se cortan en un punto se pueden escribir las rectas en forma paramétrica, ver ecuaciones de la recta, y resolver el sistema, si existe una solución, entonces las rectas se cortarán en ese punto, sino, se cruzarán.

Otra manera de comprobarlo (con Rangos)

Tomando la matriz asociada al sistema de ecuaciones formado por las rectas, \(A\), y su correspondiente matriz ampliada, \(\bar{A}\), ver sistemas en forma matricial
se calculan sus rangos, ver cómo calcular el rango de una matriz

Rango(\(A\)) Rango(\(\bar{A}\)) Posición relativa
2 2 Rectas se cortan en un punto
1 1 Rectas coincidentes
\(n\) \(m\) (con \(n\neq m\)) Rectas paralelas

Posición relativa entre tres planos \(\pi_1\), \(\pi_2\) y \(\pi_3\)

Sean \(\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\), \(\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) y \(\pi_3:A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\)
Tomando la matriz asociada al sistema de ecuaciones formado por los planos, \(A\), y su correspondiente matriz ampliada, \(\bar{A}\), ver sistemas en forma matricial
se calculan sus rangos, ver cómo calcular el rango de una matriz

Rango(\(A\)) Rango(\(\bar{A}\)) Posición relativa
3 3 Los planos son secantes en un punto
2 3 Los planos son secantes dos a dos
2 3 Si \(\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq\frac{D}{D'}\), dos planos son paralelos y el tercero secante
2 2 Los planos son secantes y distintos entre sí
2 2 Si \(\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}\), dos planos son coincidentes y el tercero secante
1 2 Los planos son paralelos y distintos dos a dos
1 2 Si \(\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}\), los planos son paralelos dos coincidentes
1 1 Los planos son coincidentes

Puntos simétricos

Punto simétrico de un punto \(P\)  respecto de otro, \(Q\)

se obtiene por la definición de punto medio, ver cómo se obtiene el punto medio entre dos puntos

Si \(P'\) es el simétrico de \(P\) respecto de \(Q\), éste último será el punto medio del segmento \(\vec{P'P}\), es decir

\(Q(q_1,q_2,q_3)=\big(\dfrac{p_1+p_1'}{2},\dfrac{p_2+p_2'}{2},\dfrac{p_3+p_3'}{2}\big)\)

Ejemplo:
Calcular el punto simétrico \(P'\) de \((1,0,1)\) respecto de \((1,2,4)\)

\((1,2,4)=\big(\dfrac{1+p_1'}{2},\dfrac{0+p_2'}{2},\dfrac{1+p_3'}{2}\big)\Rightarrow P'(1,47)\)

Punto simétrico de un punto \(P\) respecto de una recta \(r\)

Se halla el plano perpendicular, \(\pi\), a la recta \(r\) que pasa por el punto \(P\)
El vector director de \(r\) será el vector normal del plano \(\pi\), con esta información y el punto \(P\), se construye el plano \(\pi\), ver cómo construir un plano

Se halla \(M\), el punto de corte entre \(r\) y \(\pi\), que será el punto medio entre \(P\) y su simétrico \(P'\), es decir,

\((M_1,M_2,M_3)=(\dfrac{p_1+p'_1}{2},\dfrac{p_2+p'_2}{2},\dfrac{p_3+p'_3}{2})\)

Despejando las coordenadas \((p'_1,p'_2,p'_3)\) se tiene el punto simétrico pedido

Punto simétrico de un punto \(P\) respecto a un plano \(\pi\)

El punto simétrico \(P'\) de un punto \(P\) respecto a un plano \(\pi\) se calcula a partir de la proyección del punto \(P\) sobre el plano. Sabiendo que dicha proyección \(M\) es el punto medio del segmento que forma \(P\) con su simétrico \(P'\) se obtiene el resultado

El punto \(M\) se calculará como la intersección del plano con su perpendicular que pasa por \(P\). Dicha perpendicular tendrá como vector director un vector paralelo al del plano dado (ver vector característico o normal de un plano)

De esta forma, la recta perpendicular obtenida y el plano dado formarán un sistema de ecuaciones, ver cómo resolver un sistema de ecuaciones, cuya solución será el punto \(M\) buscado

Bastará escribir dicho punto como punto medio y sustituir los datos conocidos, ver de nuevo cómo calcular el punto medio entre dos puntos,

\(M=\big(\dfrac{p_1+p_{1}}{2},\dfrac{p_2+p'_{2}}{2},\dfrac{p_3+p'_{3}}{2}\big)=(M_1,M_2,M_3)\)

con \((p_1,p_2,p_3)\) las coordenadas del punto \(P\) dadas en el enunciado, \((M_1,M_2,M_3)\) las coordenadas de la proyección \(M\) hallada como solución al sistema. Bastará despejar \((p'_{1},p'_{1},p'_{3})\) para obtener el punto pedido \(P'\)

 

Ver ejercicios de Geometría analítica