\[\]Ejercicio 5: Descomponer en factores los siguientes radicandos:
a) \(\sqrt[3]{216}\)
b) \(\sqrt{1024}\)
c) \(\sqrt[5]{243}\)
d) \(\sqrt{196}\)
e) \(\sqrt[6]{4096}\)
f) \(\sqrt[3]{27000}\)
g) \(\sqrt[3]{0,125}\)
h) \(\sqrt{0,0004}\)
Recordando cómo descomponer en factores los radicandos de una raíz, se tienen los resultados
a) \(\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]{3^3}=2\cdot 3=\bbox[yellow]{6}\)
b) \(\sqrt{1024}=\sqrt{2^{10}}=2^{\frac{10}{2}}=2^5=\bbox[yellow]{32}\)
c) \(\sqrt[5]{243}=\sqrt[5]{3^5}=3\)
d) \(\sqrt{196}=\sqrt{2^2\cdot 7^2}=2\cdot 7=\bbox[yellow]{14}\)
e) \(\sqrt[6]{4096}=\sqrt[6]{2^{12}}=\sqrt[6]{2^6\cdot 2^6}=2\cdot 2=\bbox[yellow]{4}\)
f) \(\sqrt[3]{27000}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3\cdot 5^3}=2\cdot 3\cdot 5=\bbox[yellow]{30}\)
g) \(\sqrt[3]{0,125}=\sqrt[3]{125\cdot \frac{1}{10^3}}=\sqrt[3]{5^3}\cdot\frac{1}{10}=\bbox[yellow]{\frac 12}\)
h) \(\sqrt{0,0004}=\sqrt{4\cdot\frac{1}{100^2}}=2\cdot\frac{1}{100}=\bbox[yellow]{\frac{1}{50}}\)
\[\] Ejercicio 6: Operar con las siguientes raíces:
a) \(\sqrt{32}:\sqrt{2}\)
b) \(\sqrt[3]{81}:\sqrt[3]{9}\)
c) \(\sqrt{2}:\sqrt[3]{32}\)
d) \(\sqrt[3]{9}:\sqrt[6]{3}\)
e) \(\sqrt{20}+\sqrt{5}+\sqrt{500}-\sqrt{80}\)
f) \(\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}\)
g) \(\sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486}\)
h) \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}\)
Recordando la teoría sobre raíces, se obtiene
a) \(\sqrt{32}:\sqrt{2}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\bbox[yellow]{\sqrt{16}}\)
b) \(\sqrt[3]{81}:\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{\frac{81}{9}}=\bbox[yellow]{\sqrt[3]{9}}\)
c) \(\sqrt{2}:\sqrt[3]{32}=\sqrt[6]{2^3}:\sqrt[6]{32^2}=\sqrt[6]{8}:\sqrt[6]{1024}=\bbox[yellow]{\sqrt[6]{\frac{8}{1024}}}\)
d) \(\sqrt[3]{9}:\sqrt[6]{3}=\sqrt[6]{9^2}:\sqrt[6]{3}=\bbox[yellow]{\sqrt[6]{27}}\)
e) \(\sqrt{20}+\sqrt{5}+\sqrt{500}-\sqrt{80}=\sqrt{2^2\cdot 5}+\sqrt{5}+\sqrt{2^2\cdot 5^2\cdot 5}-\sqrt{2^4\cdot 5}=2\sqrt{2}+\sqrt{5}+10\sqrt{5}-4\sqrt{5}=\bbox[yellow]{9\sqrt{5}}\)
f) \(\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}=\sqrt{3}+\sqrt{3\cdot 2^2}+\sqrt{3^3}-\sqrt{5^2\cdot 3}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{5}=\bbox[yellow]{\sqrt{3}}\)
g) \(\sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486}=\sqrt{2^2\cdot 2\cdot 3}-5\sqrt{6}+\sqrt{2\cdot 3^2\cdot 3^2\cdot 3}=2\sqrt{6}-5\sqrt{6}+9\sqrt{6}=\bbox[yellow]{6\sqrt{\sqrt{6}}}\)
h) \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}-\sqrt[3]{2^3\cdot 2}+\sqrt[3]{2\cdot 5^3}=3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}=\bbox[yellow]{6\sqrt[3]{2}}\)