Ejercicios de Probabilidad I

Ejercicio 1: Se te propone jugar al siguiente juego: Lanzas un dado y tu oponente otro, si en ambos sale el mismo número, pierdes, si la suma de ambos es siete, ganas, en cualquier otro caso hay empate. ¿Jugarías a este juego? 

El espacio muestral de lanzar dos dados está comprendido por \(36\) casos:

\(E=\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,6),(2,1),(2,2),...(2,6),..(6,1),...(6,6)\}\)

Los casos en los que sale el mismo número en ambos dados son seis: \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\) y \((6,6)\)

Luego, utilizando la fórmula \(P(A)=\frac{\hbox{casos favorables}}{\hbox{casos posibles}}\), ver probabilidad, se tiene

\(P(\hbox{perder})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

Los casos en los que la suma de los dos dados es siete son también seis: \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)\) y \((6,1)\)

Utilizando de nuevo la misma fórmula, se tiene \(P(\hbox{ganar})=\dfrac{1}{6}\)

De forma que la probabilidad de ganar y de perder es la misma, siendo mucho mayor la probabilidad de quedar empate: \(P(\hbox{empate})=1-P(\hbox{ganar})-P(\hbox{perder})=1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}\)

Ejercicio 2: Dados los sucesos \(A\) y \(B\), se sabe que:

\(P(\bar{B})=\dfrac 13\) y \(P(A)=\dfrac 12\) y \(P(A\cap B)=\dfrac 13\)

1. Razonar si los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes
2. Calcular \(P(A\cup B)\)

1. Calculando primero \(P(B)\), ver probabilidad, se tiene

\(P(B)=1-P(\bar{B})=1-\dfrac 13=\dfrac 23\)

Consultando la parte de teoría de probabilidad y sabiendo por el enunciado que \(P(A\cap B)=\dfrac 13\), se tiene \(P(A\cap B)=P(A).P(B)=\dfrac 23\dfrac 12\Rightarrow\boxed{\hbox{los sucesos son independientes}}\)

2. Consultando la teoría de probabilidad, para ver la fórmula de la probabilidad de la unión, se tiene

\(P(A\cup B)=\dfrac 12+\dfrac 23-\dfrac 13=\dfrac{3+4-2}{6}=\boxed{\dfrac 56}\)

 

Ejercicio 3: En la asignatura de Historia del Arte hay matriculados \(1000\) alumnos. En Junio se presentaron \(500\), de los que aprobaron \(350\), mientras que en Septiembre, de los \(500\) que se presentaron, suspendieron \(100\). Elegido al azar un alumno matrculado en esa asignatura,

1. Calcular la probabilidad de que haya aprobado

2. Si ha suspendido Historia del Arte, ¿cuál es la probabilidad de haberse presentado en Septiembre? 

1. La probabilidad de que haya aprobado será la probabilidad de que haya aprobado en Junio más la probabilidad de que lo haya hecho en Septiembre, es decir

\(P(\hbox{aprobar})=P(\hbox{aprobar en Junio})+P(\hbox{aprobar en Septiembre})\)

Por otra parte, la probabilidad de aprobar en Junio será la probabilidad de presentarse en Junio al examen y además aprobarlo

\(P(\hbox{aprobar en Junio})=P(\hbox{presentarse en Junio}).P(\hbox{aprobar yendo al examen de Junio})=\dfrac{500}{1000}\dfrac{350}{500}=\dfrac{175}{500}\)

En Septiembre, teniendo en cuenta que si \(\dfrac{100}{500}\) es la probabilidad de suspender en Septiembre, \(1-\dfrac{100}{500}=\dfrac{4}{5}\) será la probabilidad de aprobar habiéndose presentado en Septiembre,

\(P(\hbox{aprobar en Septiembre})=P(\hbox{presentarse en Septiembre}).P(\hbox{aprobar yendo al examen de Septiembre})=\dfrac{500}{1000}\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{10}\)

Luego, \(P(\hbox{aprobar})=P(\hbox{aprobar en Junio})+P(\hbox{aprobar en Septiembre})=\dfrac{175}{500}+\dfrac{4}{10}=\boxed{\dfrac{375}{500}}\)

2. Suponiendo que ha suspendido la asignatura, la probabilidad de que se haya presentado en Septiembre será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,

\(P(\hbox{presentarse en Septiembre }|\hbox{ suspender})=\dfrac{P(\hbox{suspender }|\hbox{ presentarse en Septiembre}).P(\hbox{presentarse en Septiembre})}{P(suspender)}\)

La probabilidad de suspender habiéndose presentado en Septiembre la aporta el enunciado: \(\dfrac{100}{500}\) y la probabilidad de suspender el examen será \(1-P(\hbox{aprobar})=\dfrac 12\)

De forma que se tiene,
\(P(\hbox{presentarse en Septiembre }|\hbox{ suspender})=\dfrac{\dfrac{100}{500}.\dfrac 12}{1-\dfrac{375}{500}}=\boxed{\dfrac{50}{125}}\)

Ejercicio 4: Se tienen dos sucesos aleatorios \(A\) y \(B\) y se conocen las probabilidades \(P(A)=0,6\), \(P(B)=0,1\) y \(P(A\cup B)=0,6\). ¿Son \(A\) y \(B\) sucesos incompatibles? 

Dos sucesos \(A\) y \(B\) son incompatibles si \(P(A\cap B)=\emptyset\), ver probabilidad

En este caso,

\(P(A\cap B)=0,6+0,1-0,6=0,1\neq 0\Rightarrow\boxed{A \hbox{ y }B \hbox{ no son incompatibles}}\)

 

Ejercicio 5: El \(20\)% de los habitantes de una determinada población dice siempre la verdad y otro \(20\)% miente siempre. El \(75\)% de los que dicen siempre la verdad son felices, mientras que el \(50\)% de los mentirosos es feliz y el \(20\)% del resto de la población también lo es. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar feliz, diga siempre la verdad 

En el ejercicio se pide la probabilidad de que una persona diga la verdad sabiendo que esa persona es feliz, es decir, una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada

Si \(P(F)\) es la probabilidad de que una persona sea feliz y \(P(V)\) la probabilidad de que diga la verdad, se pide

\(P(V|F)=\dfrac{P(V\cap F)}{P(F)}=\dfrac{P(V).P(F|V)}{P(F)}=\dfrac{0,2.0,75}{0,2.0,75+0,5.0,2+0,2.0,6}=\boxed{0,4}\)

Ejercicio 6: En un curso de repostería se han matriculado el doble de mujeres que de varones. Sabiendo que un \(25\)% de las mujeres ya han hecho un curso de cocina anterior y que no lo han hecho el \(60\)% de los varones, determinar la probabilidad de que seleccionando una persona al azar del curso de repostería, resulte haber hecho un curso de cocina anterior 

Sea \(V\) varón, \(M\) mujer. Con los datos proporcionados en el enunciado se establece un sistema con las probabilidades de ser hombre o mujer en el curso de repostería

\(P(M)=2P(V)\) y sabiendo que la probabilidad total ha de ser uno, ver probabilidad, se tiene \(P(M)+P(V)=1\)

Despejando se obtiene \(P(M)=\dfrac 23\) y \(P(V)=\dfrac 13\)

En el ejercicio se pide hallar la probabilidad de que la persona escogida al azar haya hecho un curso de cocina anteriormente, dicha probabilidad puede descomponerse en la probabilidad de que la persona haya hecho el curso siendo mujer y la probabilidad de que lo haya hecho siendo hombre, ver probabilidad, es decir

\(P(\hbox{Curso anterior})=\dfrac 23.0,25+\dfrac 13.0,4=\boxed{0,3}\)

 

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