Ejercicios de Probabilidad II

Ejercicio 7: Una urna \(A\) contiene \(5\) bolas blancas y \(4\) negras, y otra urna \(B\) contiene \(1\) blanca y \(2\) negras. Se extrae una bola al azar de la urna \(A\) y se pone en la \(B\). Después se extrae de la urna \(B\) una bola al azar

1. Calcular la probabilidad de que la bola extraída de la urna \(B\) sea blanca 

2. Suponiendo que la bola extraída de la urna \(B\) es blanca, hallar la probabilidad de que la bola extraída de la urna \(A\) también sea blanca

1. La probabilidad de que la bola extraída de la urna \(B\) sea blanca será, ver probabilidad, la probabilidad de que sea una bola blanca habiéndose extraído primeramente de la urna \(A\) una blanca más la probabilidad de que la bola extraída de \(B\) sea blanca habiendo resultado negra la bola extraída de \(A\), es decir,

\(P(b_{\hbox{Urna B}})=\dfrac 59\dfrac 12+\dfrac 49\dfrac 14=\boxed{\dfrac{7}{18}}\)

2. Se pide calcular una probabilidad condicionada, la probabilidad de que la bola extraída de \(A\) haya sido blanca suponiendo que la que se extrae de \(B\) sea blanca, ver probabilidad,

\(P(b_{\hbox{Urna A} }| b_{\hbox{Urna B}})=\dfrac{P(b_{\hbox{Urna A}}\cap b_{\hbox{Urna B}})}{P(b_{\hbox{Urna B}})}=\dfrac{P(b_{\hbox{Urna B}} |b_{\hbox{Urna A}}).P(b_{\hbox{Urna A}})}{P(b_{\hbox{Urna B}})}=\dfrac{\frac 59.\frac 12}{\frac{7}{18}}=\boxed{\dfrac 57}\)

Ejercicio 8: Dos parejas de gemelos deciden ir al parque de atracciones. Si se montan al azar en una atracción en cuatro asientos contiguos, ¿cuál es la probabilidad de que cada uno está sentado al lado de su hermano?

Se tienen las siguientes parejas de gemelos \((X,x)\) e \((Y,y))\). Los casos favorables será \((Xx,Yy), (Xx,yY), (xX,Yy), (xX,yY), (Yy,Xx), (Yy,xX), (yY,Xx)\) y \((yY,xX)\), los casos \((Xy, Yx)\) o \((yX,xY)\) no se contemplan porque aunque hay una pareja de gemelos sentada junta, los de los extremos están separados y el enunciado dice que cada uno esté sentado al lado de su hermano

Los casos posibles serán \(4\)!\(=24\) por lo que la probabilidad pedida será, ver probabilidad,

\(P(\hbox{gemelos juntos})=\dfrac{8}{24}=\boxed{\dfrac 13}\)

 

Ejercicio 9: La probabilidad de que un universitario en el rango de edad \(25-35\) años tenga un hijo es menos de \(5\) años es de \(\dfrac 35\) y de que su hermana no universitaria tenga un hijo en esos \(5\) años es de \(\dfrac 23\). Hallar la probabilidad de que

1. Ambos tengan un hijo en esos \(5\) años

2. Sólo el universitario tenga un hijo en esos \(5\) años

3. Al menos uno de los dos tenga un hijo en ese tiempo

Primero se definen las variables a utilizar

\(P(U_h):\) Probabilidad de que el universitario tenga un hijo
\(P(H_h):\) Probabilidad de que la hermana tenga un hijo

1. Consultando la teoría de probabilidad, se tiene

\(P(U_h\cap H_h)=\dfrac 35.\dfrac 23=\boxed{\dfrac 25}\)

2. \(P(U_h\cap \bar{H_h})=\dfrac 35.\dfrac 13=\boxed{\dfrac 15}\)

3. La probabilidad de que al menos uno de los dos tenga un hijo será \(1-\) la probabilidad de que ninguno tenga un hijo en ese rango de tiempo, es decir

\(1-P(\bar{U_h}\cap\bar{H_h})=1-\dfrac 25.\dfrac 13=\boxed{\dfrac{13}{15}}\)

Ejercicio 10: En un grupo de personas el \(50\)% ha visto la serie Juego de tronos. Por otro lado, el \(12,5\)% no ha visto la serie pero se han leído los libros. Finalmente, el \(60\)% de los que no se han leído los libros, no han visto la serie

1. ¿Qué porcentaje ni ha leído los libros ni ha visto la serie?

2. ¿Qué porcentaje no ha leído los libros?

3. Entre las personas que no han visto la serie en la tele, ¿qué porcentaje no se ha leído los libros?

1. Primeramente se escriben los datos aportados en el enunciado

\(P(L)=0,5\) probabilidad de que se haya leído los libros
\(P(S)\) probabilidad de que haya visto la serie

Se tiene por tanto que \(P(\bar{S})=0,5\), ver probabilidad. A esa probabilidad hay que quitarle los que no habiendo visto la serie, sí se han leído los libros (\(12,5\)%), es decir,

\(P(\bar{S}\cap\bar{L})=0,5-0,125=0,375\Rightarrow\boxed{37,5\hbox{%}}\)

2. El \(60\)% de \(0,375\) es \(0,625\Rightarrow P(L)=0,625\) y \(P(\bar{L})=0,375\Rightarrow\boxed{62,5\hbox{%}}\)

3. El ejercicio pide una probabilidad condicionada, ver probabilidad. Se pide hallar la probabilidad de los que no se han leído los libros sabiendo que tampoco han visto la serie,

\(P(\bar{L}|\bar{S})=\dfrac{P(\bar{L}\cap\bar{S})}{P(\bar{S})}=\dfrac{0,375}{0,5}=0,75\Rightarrow\boxed{75\hbox{%}}\)

 

Ejercicio 11: Un grupo de amigos está formado por \(40\)% hombres y el \(60\)% mujeres. En ese grupo, el \(80\)% de los hombres y el \(20\)% de las mujeres son alérgicos

1. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar de ese grupo sea alérgica 

2. Elegida al azar una persona resulta ser alérgica, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

1. Primero se escriben los datos del enunciado \(H=\{\hbox{hombre}\}\), \(HM=\{\hbox{mujer}\}\), \(A=\{\hbox{con alergia}\}\) y \(\bar{A}=\{\hbox{sin alergia}\}\)

La probabilidad de que la persona elegida al azar sea alérgica será la probabilidad de que dicha persona sea hombre y alérgico más la probabilidad de que sea mujer y alérgica, ver probabilidad, es decir

\(P(A)=P(A|H)P(H)+P(A|M)P(M)=0,80.0,40+0,20.0,60=\boxed{0,44}\)

2. El ejercicio pide una probabilidad condicionada, ver probabilidad, se pide hallar la probabilidad de que sea mujer una persona elegida al azar que ha resultado ser alérgica

\(P(M|A)=\dfrac{P(A|M)P(M)}{P(A)}=\dfrac{0,20.0,60}{0,44}=\boxed{0,273}\)

Ejercicio 12: Una caja con una docena de huevos contienen dos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos después y de manera consecutiva) cuatro huevos

1. Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado  

2. Calcular la probabilidad de extraer de entre los cuatro huevos, exactamente uno roto

1. Se nombran primeramente las variables:

\(A=\{sale el huevo en buen estado\}\) y \(B=\{sale un huevo roto\}\)

De esta manera, \(P(AAAA)\) será la probabilidad de que los cuatro huevos extraídos estén en buen estado, ver probabilidad,

\(P(AAAA)=\dfrac{8}{12}\dfrac{7}{11}\dfrac{6}{10}\dfrac 59=\dfrac{14}{99}=\boxed{0,1414}\)

2. La probabilidad de que todos los huevos extraídos excepto uno estén bien será: la probabilidad de que el primero sea el roto más la probabilidad de que lo sea el segundo, más la probabilidad de que sea el tercero más la probabilidad de que el roto sea el cuarto, es decir,

\(P(BAAA)+P(ABAA)+P(AABA)+P(AAAB)=4P(BAAA)=4(\dfrac{4}{12}\dfrac{8}{11}\dfrac{7}{10}\dfrac 69)=\dfrac{244}{495}=\boxed{0,4525}\)

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