Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificacón: 2 ptos)
Se supone que la probabilidad de que nazca una niña es \(0,49\) y la probabilidad de que nazca niño es \(0,51\). Una familia tiene dos hijos
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niños, condicionada porque el segundo sea niño?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niños, condicionada porque al menos uno sea niño?
Definiendo las variables se tiene
\(A_n\equiv\) nace el niño n-ésimo
\(B_n\equiv\) nace la niña n-ésima
a) Para estudiar la probabilidad condicionada pedida, consultar la teoría de probabilidad condicionada,
\(P(A_1\cap A_2|A_2)=\frac{P(A_1\cap A_2)\cap A_2}{P(A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P((A_1\cap A_2)\cup (B_1\cap A_2))}=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1\cap A_2)+P(B_1\cap A_2)}\)
\(P(A_1\cap A_2|A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)P(A_2)+P(B_1)P(A_2)}=\frac{0,51.0,51}{0,51.0,51+0,49.0,51}=\bbox[yellow]{0,51}\)
b) En este segundo caso también se trata de una probabilidad condicionada
\(P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P(A_1\cap A_2)\cap (A_1\cup A_2)}{P(A_1\cup A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(\bar{B_1\cap B_2})}=\frac{P(A_1)P(A_2)}{1-P(B_1\cap B_2)}\)
\(P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{1-P(B_1)P(B_2)}=\frac{0,51.0,51}{1-0,49.0,49}=\bbox[yellow]{0,34}\)
Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se dispone de tres urnas, \(A,B\) y \(C\). La urna \(A\) contiene una bola blanca y dos bolas negras, la urna \(B\) contiene dos bolas blancas y una bola negra y la urna \(C\) contiene tres bolas blancas y 3 negas. Se lanza un dado equilibrado y si sale \(1,2\) ó \(3\) se escoge la urna \(A\), si sale \($\) se escoge la \(B\) y si sale \(5\) ó \(6\) se elige la urna \(C\). A continuación, se extrae una bola de la urna elegida
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Si se sabe que la bola extraída ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna \(C\)?
Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Se escoge la urna \(A\)
\(B\equiv\) Se escoge la urna \(B\)
\(C\equiv\) Se escoge la urna \(C\)
\(D\equiv\) La bola extraída es blanca
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(A)=\frac{3}{6}\)
\(P(B)=\frac{1}{6}\)
\(P(C)=\frac{2}{6}\)
\(P(D|A)=\frac 13\)
\(P(D|B)=\frac 23\)
\(P(D|C)=\frac 36\)
a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca será la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la urna \(A\), más la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la \(B\) más la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la \(C\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(D)=P((A\cap D)\cup (B\cap D)\cup (C\cap D))=P(A\cap D)+P(B\cap D)+ P(C\cap D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(B|D)+P(C)P(C|D)\)
Luego, \(P(D)=\frac 36.\frac 13+\frac 16.\frac 23+\frac 26.\frac 36=\bbox[yellow]{\frac 49}\)
b) La probabilidad de que la bola extraída sea de la urna \(C\) sabiendo que es blanca es una probabilidad condicionada, consultar probabilidad condicionada
\(P(C|D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{P(C)P(D|C)}{P(D)}=\frac{\frac 26.\frac 36}{\frac 49}=\bbox[yellow]{\frac 38}\)