Probabilidad en Selectividad 2010 II

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se consideran los sucesos \(A\), \(B\) y \(C\) de un experimento aleatorio, tales que:

\(P(A|C)\geq P(B|C);\qquad\)\(\qquad P(A|\bar{C})\geq P(B|\bar{C})\)

Razónese cuál de las siguientes desigualdades es siempre cierta

a) \(P(A)<P(B)\qquad\)b)\(P(A)\geq P(B)\)

Aplicando el Teorema de Bayes a cada desigualdad dada en el enunciado, ver probabilidad condicionada, se tiene

\(P(A|C)\geq P(B|C)\Rightarrow \frac{A\cap C}{P(C)}\geq\frac{P(B\cap C)}{P(C)}\Rightarrow P(A\cap C)\geq P(B\cap C)\)

Por otra parte,

\(P(A|\bar{C})\geq P(B|\bar{C})\Rightarrow \frac{A\cap \bar{C}}{P(\bar{C})}\geq\frac{P(B\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}\Rightarrow P(A\cap \bar{C})\geq P(B\cap \bar{C})\)

Por la definición de la probabilidad de la intersección se tiene

\(P(A\cap\bar{C})=P(A)-P(A\cap C)\quad\) y \(\quad P(B\cap\bar{C})=P(B)-P(B\cap C)\)

Es decir, \(P(A)-P(A\cap C)\geq P(B)-P(B\cap C)\)

Ordenando la expresión, se obtiene

\(P(A)-P(B)\geq P(A\cap C)-P(B\cap C)\)

Si \(P(A\cap C)\geq P(B\cap C)\Rightarrow P(A\cap C)-P(B\cap C)\geq 0\)

Uniendo ambas expresiones se tiene que \(P(A)-P(B)\geq 0\Rightarrow\bbox[yellow]{P(A)\geq P(B)}\)

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se consideran los siguientes sucesos:
Suceso \(A\): La economía de un cierto país está en recesión
Suceso \(B\): Un indicador económico muestra que la economía de dicho país está en recesión

Se sabe que

\(P(A)=0,005;\qquad\qquad P(B|A)=0,95\qquad\qquad P(\bar{B}|\bar{A})=0,96\)

a) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la economía del país no está en recesión y además la economía del país esté en recesión
b) Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que a economía del país está en recesión

a) En este primer caso se pide que suceda a la vez el suceso \(A\) y el complementario de \(B\) (\(\bar{B})\), es decir, consultando la teoría de probabilidad, se tiene

\(P(A\cap\bar{B})=P(A)P(\bar{B}|A)=P(A)P(1-P(B|A))=0,005(1-0,95)=\bbox[yellow]{0,00025}\)

b) La probabilidad pedida será la unión de la probabilidad de que el indicador muestre que la economía está en recesión siendo este dato verídico (es decir, cumpliéndose también \(A\)) más la probabilidad de que el indicador muestre que está en recesión pero que el país no esté en realidad en recesión (es decir, que no se cumpla \(A\), sino su complementario, \(\bar{A}\)

\(P(B)=P((A\cap B)\cup (\bar{A}\cup B))=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})=P(A)P(B|A)+(1-P(A))(1-P(\bar{B}|\bar{A}))=0,005.0,95+(1-0,005)(1-0,96)=\bbox[yellow]{0,04455}\)

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