Ejercicio : (Junio 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un espacio muestral tales que: \(P(A)=0,4; P(A\cup B)=0,5; P(B|A)=0,5\). Calcúlese:
a) \(P(B)\)
b) \(P(A|\bar{B})\)
Nota: \(\bar{S}\) denota el suceso complementario del suceso \(S\)
a) La probabilidad del suceso \(B\) se calculará a partir de la fórmula de la probabilidad de la unión y de la condicionada (ambas dadas en el enunciado), ver dichas fórmulas en la teoría de la probabilidad
\(P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\Rightarrow P(B\cap A)=P(B|A)P(A)=0,5.0,4=0,2\)
Por otra parte,
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)\)
\(\Rightarrow P(B)=0,5+0,2-0,4=\bbox[yellow]{0,3}\)
b) La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(A|\bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\frac{0,4-0,2}{1-0,3}=\bbox[yellow]{0,28}\)
Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas \(A\) y \(B\). La urna \(A\) contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) negras; la urna \(B\) contiene \(2\) rojas y \(3\) negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es \(1\) ó \(2\) extraemos una bola de la urna \(A\); en caso contrario extraemos una bola de la urna \(B\)
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?
b) Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna \(A\)?
a) Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:
\(R\equiv\) Bola roja
\(N\equiv\) Bola negra
La probabilidad de que salga una bola roja será la probabilidad de que salga roja habiéndola sacado de la urna \(A\) más la probabilidad de que salga roja habiéndola sacado de la \(B\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(B)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=\frac 13.\frac 35+\frac 23.\frac 25=\bbox[yellow]{\frac{7}{15}}\)
b) La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada
\(P(A|R)=\frac{P(R|A)P(A)}{P(R)}=\frac{\frac 35\frac 13}{\frac{7}{15}}=\bbox[yellow]{\frac 37}\)