Raíces - Ejercicios Matematicas

Definición

La raíz \(n-\)ésima ,\(\sqrt[n]a\), de un número \(a\) será un número \(b\), tal que al elevarlo a la potencia \(n\) se obtendrá \(a\)

\(\bbox[yellow]{\sqrt[n]a=b}\)

con \(n\) el índice de la raíz, \(\sqrt{}\) el radical y \(a\) el radicando

Ejemplo: La raíz cuadrada de \(4\), \(\sqrt{4}\), es \(\pm 2\) ya que al elevar al cuadrado \(-2\) ó \(2\) el resultado será \(4\)

Escribir una raíz como una potencia

La expresión para la raíz \(\sqrt[n]a=b\) puede escribirse como una potencia; esto es, \(a=b^n\), ver teoría sobre potencias

Ejemplo: \(\sqrt{9}=3\Rightarrow 9=3^2\)

Propiedades

\(\sqrt{0}=0\)
\(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\)Ejemplo: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\)
\(\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac ab}\)Ejemplo: \(\sqrt[4]{21}:\sqrt[4]{7}=\sqrt[4]{3}\)
\((\sqrt[n]{a)^m}=\sqrt[n]{a^m}\)Ejemplo: \((\sqrt{6})^3=\sqrt{6^3}\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\)Ejemplo: \(\sqrt[3]{\sqrt{2}}=\sqrt[6]{2}\)
Dos raíces son equivalentes o iguales si tienen las mismas solucionesEjemplo: \(\sqrt{4}=2\cdot\sqrt[3]{8}=2\)

Si el índice \(n\) de la raíz es par…

Si el radicando es positivo existen dos raíces opuestasEjemplo: \(\sqrt{4}=\pm 2\)
Si el radicando es cero, la solución será cero

Ejemplo: \(\sqrt{0}=0\)
Si el radicando es negativo, no existe soluciónEjemplo: \(\sqrt{-4}=\)no existe

Si el índice \(n\) de la raíz es impar…

Sacar factores de una raíz

\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b=a^{\frac 1n}\cdot b^{\frac 1n}\)
Ejemplo: \(\sqrt[7]{10}=\sqrt[7]{5\cdot 2}=\sqrt[7]5\cdot\sqrt[7]2=5^{\frac 17}\cdot 2^{\frac 17}\)
Para poder quitar una raíz, el radicando (\(a\)) debe poder escribirse como una potencia con exponente igual al índice de la raíz (\(n\)), es decir; sabiendo que \(a=c^n\), se tiene \(\sqrt[n]a=\sqrt[n]{c^n}=(c^n)^{\frac 1n}=c\)Ejemplo: \(\sqrt[4]81=\sqrt[4]{3^4}=(3^4)^{\frac 14}=3\)

Operaciones con raíces

Para operar con radicales, primero se pasarán las raíces a potencias y se operará con dichas potencias obtenidas, ver cómo se opera con potencias