Ejercicios de Representación de funciones III

Ejercicio 4: Estudiar las asíntotas verticales de la función \(f(x)=\sec x\)

La función puede escribirse como \(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\), ver ecuaciones trigonométricas

De forma que las posibles asíntotas verticales de la función serán las soluciones de \(\cos x=0\). Es decir, \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\), ver asíntotas

Como \(f(x)=\sec x\) es una función periódica (de período \(2\pi\)), bastará estudiarla en \(\dfrac{\pi}{2}\) y \(-\dfrac{\pi}{2}\), ver cómo resolver límites

\(\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}\dfrac{1}{\cos x}=-\infty\) y \(\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}\dfrac{1}{\cos x}=\infty\), luego en \(\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}}\) hay una asíntota vertical

\(\lim\limits_{x\to -\frac{\pi}{2}^{+}}\dfrac{1}{x^2-2x}=\infty\) y \(\lim\limits_{x\to -\frac{\pi}{2}^{-}}\dfrac{1}{\cos x}=-\infty\), luego en \(\boxed{x=-\dfrac{\pi}{2}}\) hay otra asíntota vertical

 

Ejercicio 5: Representar la función \(f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\)

Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función

- El dominio de la función serán todos los números reales, ver cómo calcular el dominio de una función

- Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero y se iguala también \(x\) a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(f(x)=0\Rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}=0\Rightarrow\hbox{Imposible}\) y \(f(0)=1\), luego los cortes con los ejes serán \((0,1)\)

- Para estudiar las asíntotas de la función consultar asíntotas y ver cómo resolver límites

. Asíntotas verticales: No hay ya que no hay puntos fuera del dominio de \(f(x)\)

. Asíntotas horizontales:

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}=0\), luego la recta \(y=0\) es una asíntota vertical de la función

. Asíntotas oblicuas: No hay ya que hay asíntotas horizontales, ver asíntotas

- Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudian calculando los máximos y mínimos de \(f(x)\), ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas

\(f'(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\big(-\dfrac{2x}{2}\big)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}=0\Rightarrow x=0\)

Para comprobar si el punto obtenido es máximo o mínimo se estudia el signo de la primera derivada antes y después de dicho punto \(f'(x<0)<0\) y \(f'(x>0)>0\), luego \((0,1)\) es un máximo

- Para estudiar la curvatura de la función se hallan los puntos de inflexión de \(f(x)\), ver cómo estudiar la curvatura de una función

\(f''(x)=-e^{-\frac{x^2}{2}}-xe^{-\frac{x^2}{2}}\big(-\dfrac{2x}{2}\big)=e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)=0\Rightarrow x=\pm 1\)

Luego, \((-1,e^{-\frac{1}{2}})\) y \((1,e^{-\frac{1}{2}})\) son puntos de inflexión (de cambio de curvatura), para ver cómo varía la función se estudia el signo de la segunda derivada antes y después de ambos puntos

En este caso la función será cóncava en \((-\infty, -1)\) y \((1,\infty)\) y es convexa en \((-1,1)\)

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