Cuando una integral no está entre la lista de integrales inmediatas, se hacen operaciones para transformar la integral del problema en otra conocida. Los métodos posibles son:
Integrales por sustitución (cambio de variable)
Se hace un cambio de variable, llamando \(t=g(x)\) donde \(g(x)\) es una parte de la integral «especialmente molesta». Se calcula también \(dt=g'(x)\). Tras el cambio se obtiene una integral inmediata. Finalmente se deshace el cambio para obtener el resultado final.
Ejemplo: \[\int e^{\frac{x^2}2}x dx\]
Se hace el cambio \(t=\frac{x^2}2\) con lo que \(dt=\frac{2x}{2}dx= xdx\) y la integral se convierte en:
\[\int e^{\frac{x^2}2}x dx=\int e^{t}dt=e^t+C=e^{\frac{x^2}{2}}+C\]
La ventaja de este método es que es muy directo y rápido, la desventaja es que «se te tiene que ocurrir» el cambio que te va a permitir pasar a una integral conocida.
Ver ejercicios de Integrales por sustitución
Integrales por partes
- Para integrar por partes, se escribe la integral como \(\int udv\) y se usa la fórmula:
\[\int udv=uv-\int vdu \]
Para acordarse de la fórmula suele usarse la regla mnemotécnica «un día vi = un valiente – \(\int\)oldadito vestido de uniforme». Sólo hay que acordarse del menos y de la iniciales.Ejemplo:
\[\int x\cos(x)dx\]
y para ello tomamos \(u=x\) y \(dv=\cos(x)dx\) con lo que \(du=dx\) y \(v=sen(x)\). Usando la fórmula:
\[\int x\cos(x)dx=-x sen(x)-\int sen(x)dx=-xsen(x)-(-\cos(x))=\cos(x)-x sen(x)+C\] - La ventaja de este método es que es muy concreto, no se necesitan «ideas felices». La dificultad está en saber identificar la \(u\) y la \(dv\). Para esto tenemos la «regla de los ALPES»:- Arco (\(\arcsin x, \arccos x, \arctan x\)…)
– Logaritmo (\(\ln kx\))
– Potencia (\(x^n\))
– Exponencial (\(e^{kx}\))
– Seno/coseno (\(\sin x,\cos x\))La regla dice que siempre se asigna \(u=\)la primera que aparece en la palabra alpes. Por ejemplo, en la integral \(\int x\ln(x)dx\), como logaritmo está antes que potencias, tomamos \(u=\ln(x)\) y \(dv=xdx\) o si se pide resolver \(\int x\cos(x)dx\) se toma, como se ha dicho arriba, \(u=x\) y \(dv=\cos(x)dx\)
Ver ejercicios de Integrales por partes
Integrales trigonométricas
- Son aquéllas integrales donde aparecen función trigonométricas, ver expresiones trigonométricas
- Pueden ser integrales trigonométricas inmediatas, en este caso, consultando la tabla de integrales se obtiene el resultado
- Como se ha visto anteriormente, si la funciones trigonométricas vienen multiplicadas por otra función, es probable que puedan resolverse por el método por partes
- Es bastante común que las integrales trigonométricas que no pueden resolverse de manera inmediata ni por partes se resuelvan por haciendo un cambio de variable (explicado anteriormente)
Ejemplo: \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(t=\sin x\), se tiene que \(dt=\cos x dx\), por lo tanto, la integral pedida se escribe como \[\int\frac{\cos x}{\sin x}dx=\int\frac{dt}{t},\] de forma que es una integral del tipo logaritmo, ver la tabla de integrales, \(\int\frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln t +C\), deshaciendo el cambio de variables se tiene el resultado, \[\int\frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln (\sin x)+C\]
Integrales cíclicas
- Son integrales que se revuelven por partes y que tras integrarlas dos veces o tres (normalmente) por partes, la expresión obtenida vuelve a ser la misma de la que se partió, la integral del inicio.
- Suelen estar compuestas por una función trigonométrica y una del tipo exponencial, \(\int Ce^{kx}\sin nx\quad dx\) o \(\int Ce^{kx}\cos mx\quad dx\), con \(C\), \(k\), \(n\) y \(m\) constantes
Ejemplo: \(\int e^{x}\sin x dx\)
Integrando por partes con \(u=\sin x, du=\cos xdx\) y \(dv=e^{x}dx, v=e^{x}\), se tiene \[\int e^{x}\sin x dx=\sin x e^{x}-\int e^{x}\cos x dx\]
Integrando de nuevo por partes, esta vez con \(u=\cos x, du=-\sin xdx\) y \(dv=e^{x}dx, v=e^{x}\), se tiene \[\int e^{x}\sin x dx=\sin x e^{x}-\cos x e^{x}-\int e^{x}\sin x dx\]
Llamando \(I=\int e^{x}\sin x dx\), se tiene que \(I=\sin x e^{x}-\cos x e^{x}-I\Rightarrow 2I=\sin x e^{x}-\cos x e^{x}\Rightarrow I=\frac{\sin x e^{x}-\cos x e^{x}}{2} +C\)
Ver ejercicios de Integrales trigonométricas
Integrales Racionales
Son del tipo \(\displaystyle\int \frac{p(x)}{q(x)}dx\)
- Si \(p(x)\) tiene orden mayor o igual que \(q(x)\), se dividen los polinomios y se integra el resultadoEjemplo: \(\int\frac{x^3+1}{x^2}dx=\int x+\frac{1}{x^2}dx\)
Consultando la tabla de integrales, se tiene el resultado \[\int\frac{x^3+1}{x^2+2}dx=\frac{x^2}{2} -\frac 1x +C\] - Si \(p(x)\) tiene orden menor que \(q(x)\), se factoriza \(q(x)\) (ver cómo se resuelven polinomios) y se escribe una fracción (y, por lo tanto, una integral) por cada raíz real obtenida de \(q(x)\):
\[\int \frac{p(x)}{q(x)}dx=\int\frac{A}{(x-x_0)} +\int\frac{B}{(x-x_1)} +\frac{C}{(x-x_2)} +…dx,\] con \(x_0, x_1,…\) las raíces de \(q(x)\)
Se hace denominador común igualando el numerador a \(p(x)\), despejando así los valores de \(A, B,..\), \[\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A(x-x_1)(x-x_2)..+B(x-x_0)(x-x_2)…+C(x-x_0)(x-x_1)..+..}{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)…}\] y se resuelve luego cada término por separado, \[\int\frac{A}{(x-x_0)}dx +\int\frac{B}{(x-x_1)}dx +\int\frac{C}{(x-x_2)} dx+…\] ya que la suma de integrales es la integral de la suma (ver operaciones con integrales)Ejemplo: \(\int\frac{2}{x^2-4}dx=\int\frac{2}{(x-2)(x+2)}dx=\int\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}dx\)
Haciendo denominador común se tiene, \(2=A(x+2)+B(x-2)\Rightarrow x(A+B)=0\) y \(2A-2B=2\Rightarrow A=\frac 12\) y \(B=-\frac 12\)
Por lo tanto, \(\int\frac{2}{x^2-4}dx=\int\frac{1}{2(x-2)}dx-\int\frac{1}{2(x+2)}dx\)
Consultando la tabla de integrales, se tiene el resultado \(\int\frac{2}{x^2-4}dx=\frac 12\ln x-2-\frac 12\ln x+2\)Si alguna de las raíces de \(q(x)\) es múltiple (por ejemplo, \((x-x_0)^2\)), se escriben dos términos correspondiendo a dicha raíz, es decir, \(\frac{A}{x-x_0} +\frac{B}{(x-x_0)^2}\)
Ver ejercicios de Integrales racionales
Integrales Definidas
Pueden ser de cualquier tipo. Se caracterizan porque tienen límites de integración \(\int_a^b f(x)dx\), uno inferior, \(a\) y otro superior, \(b\)
Una vez resuelta la integral, se evalúa el resultado obtenido en \(b\) y en \(a\): se sustituye \(x=b\) en la expresión obtenida y se le resta la misma expresión pero en este caso con la sustitución \(x=a\)
Ejemplo: \(\int_0^1 x^2 dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac 13\)
Ver ejercicios de Integrales definidas
Cálculo de áreas de funciones en intervalos
Para calcular el área en el intervalo \([a,b]\) de una función \(f(x)\), se resolverá la integral de dicha función definida en el intervalo pedido, \(\int_a^b f(x)dx\)
Ejemplo: Calcular el área de \(f(x)=x^3+4x+2\) en el intervalo \([1,2]\)
\(\displaystyle\int_1^2x^3+4x+2 dx=\frac{x^4}{4}+4\frac{x^2}{2}+2x\Big|_1^2=\frac{16}{4}+8+4-(\frac 14+2+2)=\frac{47}{4}\)
Ver también operaciones con integrales y tabla de integrales