Examen de Selectividad Madrid Ciencias Junio 2010

OPCIÓN A

Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la función \(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2+1}\)

se pide:

a) (0,75 ptos) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f(x)\)
b) (0,75 ptos) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de \(f(x)\)
c) (0,75 ptos) Hallar las asíntotas y la gráfica de \(f(x)\)
d) (0,75 ptos) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de \(f(x)\), el eje de abscisas y las rectas \(y=x+2,x=1\)

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudiarán calculando los máximos y mínimos de la función, ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas

\(f'(x)=\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2+2)2x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow \dfrac{2x^3+2x-2x^3-4x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow -2x=0\Rightarrow x=0\)

Para saber si el punto crítico obtenido es máximo o mínimo, se evalúa en la segunda derivada,

\(f''(x)=\dfrac{(x^2+1)(-2(x^2+1)+8x^2)}{(x^2+1)^4}=\dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\)

Sustituyendo el valor obtenido, \(x=0\), se tiene que \(f''(0)=-2<0\)

De esta forma, consultando cómo saber si los puntos críticos son máximos o mínimos, se concluye que (sabiendo que \(f(0)=2\)) la función tiene un \(\boxed{\hbox{mximo en }(0,2)}\)

b) Para hallar los puntos de inflexión de \(f(x)\), se estudia la curvatura de la función, para ello se iguala la segunda derivada a cero (hallada en el apartado anterior), ver cómo estudiar la curvatura de una función y consultar también cómo resolver polinomios

\(f''(x)=\dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}=0\Rightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Para saber cómo cambia la curvatura de la función en los puntos obtenidos, se evalúa la segunda derivada antes y después de dichos puntos

\(f''(x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3})>0, f''(\dfrac{\sqrt{3}}{3}>x>-\dfrac{\sqrt{3}}{3})<0, f''(x>\dfrac{\sqrt{3}}{3})>0\). Por lo tanto, ver cómo estudiar la curvatura de una función, se tiene que la función antes de \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) será cóncava, entre \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) será convexa y después de \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) será cóncava de nuevo

De forma que sustituyendo en la función el valor obtenido al igualar la segunda derivada a cero, los puntos de inflexión serán \(\boxed{(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac 74),(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac 74)}\)

c) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas

. Asintótas verticales:

Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador no se anula en ningún punto real \(x^2+2=0\Rightarrow x=\sqrt{-2}\), \(\boxed{\hbox{no hay verticales}}\)

. Asintótas horizontales:

Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L'Hôpital se tiene que

\(\lim\limits{x\to\infty}\dfrac{x^2+2}{x^2+1}=1\)

Luego, hay una asíntota horizontal en \(\boxed{\hbox{horizontales }\equiv y=1}\)

. Asintótas oblicuas:

Como hay asíntotas horizontales, \(\boxed{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas

Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función

- Como ya se ha comentado, el dominio en este caso serán todos los números reales ya que el denominador no se anula para ningún valor real

- Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(f(x)=0\Rightarrow \hbox{Imposible}\), luego la función no cortará a \(y=0\)

Por otra parte, como \(f(0)=2\), se obtiene el punto de corte, \((0,2)\)

Con estos datos y los obtenidos en los apartados anteriores, es posible dibujar la función

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c) Para hallar el área pedida, se calculará la integral definida de la resta entre \(f(x)\) y \(y=x+2\), ver cómo se calcula una integral definida

Para saber los límites de la integral, se estudian los puntos de cortes de ambas funciones,

\(\dfrac{x^2+2}{x^2+1}=x+2\Rightarrow x=0\)

De forma que los límites de la integral serán \(0\) y \(1\), consultando la tabla de integrales es posible obtener el resultado pedido

\(A=\displaystyle\int_0^1(x+2-\dfrac{x^2+2}{x^2+1})dx=\int_0^1(x+1-\dfrac{1}{x^2+1})dx=(\dfrac{x^2}{2}+x-\arctan x\Big]_0^1=\boxed{\dfrac 32-\dfrac{\pi}{4}}\)

Ejercicio 2: (3 ptos) Dadas las rectas

\(r\equiv\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+4}{-1};\;\;\) \(s\equiv\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac z4\)

a) (2 ptos) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a \(r\) y \(s\)

b) (1 pto) Calcular la mínima distancia entre \(r\) y \(s\)

a) Para hallar el vector director, \(\vec{v}\), de la recta que se pide debe hacerse el producto vectorial entre los vectores directores de \(r\) y \(s\), ver producto vectorial y su significado

Para ello, consultando cómo deducir el vector director de la ecuación de una recta, se tiene que \(\vec{r}=(2,4,-1)\) y \(\vec{s}=(1,1,4)\). Además, los puntos \(A(0,1,-4)\) y \(B(0,0,0)\) son puntos de \(r\) y \(s\), respectivamente

De esta forma, \(\vec{v}=(2,4,-1)\times (1,1,4)=(17,-9,-2)\)

Una vez obtenido el vector director de la recta que se busca, la ecuación de dicha recta se obtendrá con la intersección de los planos que contienen a cada recta \(r\) y \(s\) y son paralelos al vector obtenido \(\vec{v}\), ver cómo se construye un plano

\(\pi_1:\begin{cases}A(0,1,-4)&\\\vec{v_r}=(2,4,-1)&\\\vec{v}=(17,-9,-2)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi_1\equiv\begin{array}{|crl|}x &y-1&z+4\\ 2&4&-1\\ 17&-9&-2\end{array}=0\Rightarrow\pi_1: 17x+13y+86z+331=0\)

Para calcular el segundo plano se procede de la misma manera utilizando un punto de \(s\) y el vector director de dicha recta

\(\pi_2:\begin{cases}B(0,0,0)&\\\vec{v_s}=(1,1,4)&\\\vec{v}=(17,-9,-2)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi_2\equiv\begin{array}{|crl|}x &y&z\\ 1&1&4\\ 17&-9&-2\end{array}=0\Rightarrow\pi_2: 17x+35y-13z=0\)

De forma que la recta buscada será la solución del siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones

\(\begin{cases}17x+13y+86z+331=0&\\ 17x+35y-13z=0&\\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=-\dfrac{11585}{374}-\dfrac{17}{2}\lambda&\\ y=\dfrac{7595}{251}+\dfrac 92\lambda&\\z=\lambda&\\\end{cases}}\)

b) La distancia vendrá determinada por la siguiente fórmula, ver distancias,

\(d(r,s)=\dfrac{\vec{AB}(\vec{v_r}\times\vec{v_s})}{|\vec{v_r}\times\vec{v_s}|}\dfrac{(0,-1,4)\times (17,-9,-2)}{|(17,-9,-2)|}=\dfrac{0.17+(-1)(-9)+4(-2)}{\sqrt{17^2+(-9)^2+(-2)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{374}}=\boxed{\dfrac{\sqrt{374}}{374}}\)

Ejercicio 3:(2 ptos) Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:
\(\displaystyle\begin{cases}x+ky-z=&0\\2x-y+2z=&0 \\x-4y+kz=&0\\\end{cases}\)

a) (1 pto) Determinar para qué valores de \(k\) el sistema tiene soluciones distintas de \(x=y=z=0\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(k=3\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, como es homogéneo, se calculan los Rangos de la matriz asociada al sistema, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}1 &k&-1\\ 2&-1& 2\\ 1&-4& k\end{pmatrix}\)

De forma que, ver cómo se resuelven determinantes, \(|A|=-2(k+\dfrac 52)(k-3)=0\Rightarrow k=-\dfrac 52\) y \(k=3\)

De forma que el sistema tendrá solución distinta a la trivial para \(\boxed{k=-\dfrac 52}\) y \(\boxed{k=3}\)

b) Para \(k=3\) se tiene que \(\displaystyle\begin{cases}x+3y-z=&0\\2x-y+2z=&0 \\x-4y+3z=&0\\\end{cases}\) y que \(|A|=0\)

Se puede encontrar un menor en \(A\) tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &3 \\2 & -1\end{array}=-4\neq 0\), por lo que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado si }k=3}\)

Para resolverlo se escoge una de las variables y se le da el valor \(t\) y se despejan las otras en función de este valor, de esta forma se encuentran las infinitas soluciones del sistema, ver resolución de sistemas de ecuaciones,

\(\boxed{\displaystyle\begin{cases}x=&-\dfrac 57 t\\y=&\dfrac 45 t\\z=t \\\end{cases}}\)

Ejercicio 4: (2 ptos) Dadas las matrices

\(A\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& -2\end{pmatrix};\) \(I=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\)

a) (1 pto) Hallar las constantes \(a,b\) tales que \(A^2=aA+bI\)
b) (1 pto) Sin calcular explícitamente \(A^3\) y \(A^4\), y utilizando solo la expresión anterior, obtener la matriz \(A^5\)

a) Sustituyendo las matrices en la ecuación matricial, ver ecuaciones matriciales, se tiene

\(\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& -2\end{pmatrix}^2=a\begin{pmatrix}1&1\\ 0& -2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}2 &-1\\ -1& 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b &a\\ a& -2a+b\end{pmatrix}\)

Igualando los valores de las matrices se obtendría el resultado, \(\boxed{a=-1,\;b=3}\)

Es decir, sustituyendo en la expresión dada en el enunciado, se tendría \(A^2=-A+3I\)

b) Se pide expresar la potencia cinco de la matriz \(A\) sin calcular la potencia dos y tres, sólo teniendo en cuenta la expresión obtenida en el apartado anterior, \(A^2=-A+3I\), es decir, (ver cómo operar con matrices)

\(A^5=A^4.A=(A^2)^2.A=(3I-A)^2.A=(9I^2-6IA+A^2).A=(9I-6A+(3I-A)).A=(12I-7A).A=12A-7A^2=12A-7(3I-A)=19A-21I=19\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& -2\end{pmatrix}-21\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}-2 &19\\ 19& -59\end{pmatrix}}\)

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