Examen de Selectividad Madrid Ciencias Junio 2010 Opción B

OPCIÓN B

Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la función: \(\displaystyle\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x}\ln x}{2^x}&x>0\\ x+k&x\leq 0\\\end{cases}\)

donde \(\ln x\) significa logaritmo neperiano de \(x\), se pide:

a) (1 pto) Determinar el valor de \(k\) para que la función se continua en \(\mathbb{R}\)
b) (1 pto) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas
c) (1 pto) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisas \(x=1\)

a) La función está formada por un polinomio y por la función \(\dfrac{\sqrt{x}\ln x}{2^x}\), luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre estos dos polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt{x}\ln x}{2^x}=\dfrac{0.-\infty}{1}\)

De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se utilizan algunas propiedades de los límites y se puede dividir entre \(\sqrt{x}\) y luego utilizar la Regla de L'Hôpital (ver la Regla de L'Hôpital y la tabla de derivadas),

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sqrt{x}\ln x}{2^x}=\dfrac{\lim\limits_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}\ln x}{1}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{\ln x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\frac 1x}{-\frac 12 x^{-\frac 32}}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}(-2\sqrt{x})=0\)

Calculando el otro límite lateral y el valor de la función en el punto, queda

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}x+k=f(0)=k\)

Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\boxed{k=0}\)

b) Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero y también se le da el valor cero a \(x\), ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(f(x)=0\Rightarrow \displaystyle\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x}\ln x}{2^x}=0&x>0\\ x=0&x\leq 0\\\end{cases}\Rightarrow \displaystyle\begin{cases}\displaystyle\begin{cases}\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0&\\ \ln x=0\Rightarrow x=1&\\\end{cases}&x>0\\ x=0&x\leq 0\\\end{cases}\)

Luego la función cortará en \(\boxed{(0,0),(1,0)}\)

Por otra parte, como \(f(0)=0\), se obtiene el mismo punto de corte, \((0,0)\)

c) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta

\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)

Primeramente se calculará \(f(1)=\dfrac{\sqrt{1}\ln 1}{2^1}=0\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas

\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}\dfrac{\ln x+2-2x\ln 2\ln x}{2^{x+1}\sqrt{x}}&x>0\\ 1&x\leq 0\\\end{cases}\)

Luego, \(f'(1)=\dfrac{0+2-2.1\ln 2.0}{2^2}=\dfrac 12\)

Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-0=\dfrac 12(x-1)\Rightarrow\boxed{y=\dfrac x2-\dfrac 12}\)

Ejercicio 2:(3 ptos) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: \(\displaystyle\begin{cases}x+ay-z=&a\\ax+2z=&-2 \\x+z=&-2\\\end{cases}\) se pide:

a) (2 ptos) Discutirlo según los valores del parámetro \(a\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=0\)

a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada

\(A=\begin{pmatrix}1 &a&-1\\ a&0& 2\\ 1&0& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &a&-1&a\\ a&0& 2&-2\\ 1&0& 1&-2\end{pmatrix}\)

El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres

Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=2a-a^2=0\Rightarrow a=0\) y \(a=2\)

- Si \(a\neq 0,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 0,2}\)

- Si \(a=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-1\\ 0& 2\end{array}=2\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes

Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos

De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\boxed{\hbox{si }a=0,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)

- Si \(a=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 2& 0\end{array}=-4\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)

En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),

\(\begin{array}{|crl|}1 &2&2\\ 2& 0& -2\\ 1& 0& -2\end{array}=8\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)

Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\boxed{\hbox{si }a=2,\hbox{El sistema es incompatible}}\)

b) Para \(a=0\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x-z=&a\\2z=&-2 \\x+z=&-2\\\end{cases}\)

Para resolverlo se da a una de las variables el valor \(\lambda\) y se despejan las otras dos, ver resolución de sistemas de ecuaciones

En este caso, \(\boxed{\displaystyle\begin{cases}x=&1\\y=&\lambda \\z=1 \\\end{cases}}\)

Ejercicio 3: (2 ptos) Dadas las rectas

\(r\equiv x=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-1};\;\;\) \(s=\begin{cases}x+z=&3\\2x-y=&2\\\end{cases}\)

a) (1 pto) Hallar la ecuación del plano \(\pi\) determinado por \(r\) y \(s\)

b) (1 pto) Hallar la distancia del punto \(A(0,1,-1)\) a la recta \(s\)

a) Primeramente se estudia la posición relativa de ambas rectas, ver cómo calcular la posición relativa entre dos rectas

De la primera recta se obtiene un punto y un vector director, ver cómo obtener el vector director de una recta dada, \(P(0,1,-1)\) y \(\vec{v_{r}}=(1,2,-1)\)

De la segunda recta se tendría \(Q(0,-2,3)\) y \(\vec{v_{s}}=(1,2,-1)\)

Por lo tanto \(\vec{QP}=(0,-3,4)\). Y el determinante a estudiar para calcular su posición relativa, será

\(\begin{array}{|crl|}0 &-3&4\\ 1&2&-1\\ 1&2&-1\end{array}=0\;\hbox{y }\begin{array}{|crl|}0 &-3\\ 1&2\end{array}=2\neq 0\)

El rango es 2 ya que hay un menor 2x2 cuyo determinante es distinto de cero, por lo tanto, la rectas están en el mismo plano y como sus vectores directores son iguales, las rectas son paralelas. En este caso, el plano pedido se calculará con un punto de una de las rectas y el vector \(\vec{QP}\), ver cómo se construye un plano

\(\pi\equiv\begin{cases}P(0,1,-1)&\\ \vec{v_r}=(1,2,-1)&\\ \vec{QP}=(0,-3,4)&\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x &y-1&z+1\\ 1&2&-1\\ 0&-3&4\end{array}=0\Rightarrow\boxed{\pi\equiv 5x-4y-3z+1=0}\)

b) Para calcular la distancia de un punto a una recta en \(\mathbb{R}^3\) se utiliza la siguiente fórmula, ver teoría de distancias,

\(d(P,s)=\dfrac{|\vec{v_s}\times\vec{QA}|}{|\vec{v_r}|}\)

con \(Q\) un punto de \(s\), en este caso, \(Q(0,2,3)\) calculado en el apartado anterior. Por lo tanto, \(\vec{QA}=(0,3,-4)\) y consultando producto vectorial y su significado se obtiene

\(d(P,s)=\dfrac{|(1,2,-1)\times (0,3,-4)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}=\boxed{\dfrac{5\sqrt{3}}{3}}\)

Ejercicio 4: (2 ptos) Sea \(\pi\) el plano que contiene a los puntos \(P(1,0,0)\), \(Q(0,2,0)\) y \(R(0,0,3)\). Se pide:

a) (1 pto) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\)

b) (1 pto) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano \(\pi\)

a) El volumen de un tetraedro viene dado por la siguiente fórmula, ver cómo calcular el volumen de un tetraedro

\(V=\dfrac 16|\vec{OP}(\vec{OQ}\times\vec{OR})|\)

con \(\vec{OP}\), \(\vec{OQ}\) y \(\vec{OR}\) los vectores que van de cada vértice al origen de coordenadas (que es el cuarto vértice), ver también cómo se calcula el producto mixto

\(V=\dfrac 16\begin{array}{|crl|}1 &0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3\end{array}=\dfrac 16 6=\boxed{1}\)

b) El punto simétrico \(O'\) del punto \(O\) respecto al plano \(\pi\) se calcula a partir de la proyección del punto \(O\) sobre el plano. Sabiendo que dicha proyección \(M\) es el punto medio del segmento que forma \(O\) con su simétrico \(O'\) se obtiene el resultado, ver cómo calcular un punto simétrico respecto de un plano

El punto \(M\) se calculará como la intersección del plano \(\pi\) con su perpendicular \(r\) que pasa por \(O\)

En este caso,

\(r:\begin{cases}O(0,0,0)&\\\vec{v_r}=\vec{n_{\pi}}=(6,3,2)&\\\end{cases}\Rightarrow r=\begin{cases}x=&6\lambda\\ y=&3\lambda\\ z=&2\lambda\\\end{cases}\)

Por lo tanto, la proyección será la solución de, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones

\(M:\begin{cases}\pi\equiv 6x+3y+2z-6=0&\\r=\begin{cases}x=&6\lambda\\ y=&3\lambda\\ z=&2\lambda\\\end{cases}&\\\end{cases}\Rightarrow \lambda=\dfrac{6}{49}\)

Por lo tanto, las coordenadas de la proyección \(M\) serán \(M(\dfrac{36}{49},\dfrac{18}{49},\dfrac{12}{49})\)

Dicha proyección es el punto medio entre \(O\) y el punto simétrico buscado, ver cómo se calcula un punto medio, es decir

\(M=\big(\dfrac{x_o+x_{o'}}{2},\dfrac{y_o+y_{o'}}{2},\dfrac{z_o+z_{o'}}{2}\big)=(m_1,m_2,m_3)\)

Sabiendo que \(O(0,0,0)\) y las coordenadas de \(M\), \(M(\dfrac{36}{49},\dfrac{18}{49},\dfrac{12}{49})\), despejando se obtiene el resultado \(\boxed{O'(\dfrac{72}{49},\dfrac{36}{49},\dfrac{24}{49})}\)