OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la matriz:
\(A=\begin{pmatrix}m-1&1&m&1\\ 1&m-1&m&1\\ 1&1&2&m-1\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (2 ptos) Estudiar el rango de \(A\) según los valores del parámetro \(m\)
b) (1 pto) En el caso de \(m=0\), resolver el sistema\(A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Tomando un menor \(3\times 3\) de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}m-1 & 1 & 1\\1 & m-1 & 1\\1 & 1 & m-1\end{array}=m^3-3m^2+4=0\Rightarrow (m+1)(m-2)^2\)
– Si \(m\neq -1,2\), existen menores de orden tres con determinante distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } m\neq -1,2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(m=-1\), todos los menores de orden tres tienen determinante nulo, ver cómo resolver determinantes, por lo tanto, como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}-2& 1\\1 & -2\end{array}=3\neq 0\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{si } m=-1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(m=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}-2 &1&-1&1\\ 1&-2&-1&1\\ 1&1&2&-2\end{pmatrix}\)
Todos los menores de esa matriz de orden tres y de orden dos son nulos, por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } m=2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }1}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(m=0\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}-1 &1&0&1\\ 1&-1&0&1\\ 1&1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
Recordando cómo operar con matrices, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
\(\begin{cases}-x+y=&0\\x-y=&0\\x+y+2z=&0\\\end{cases}\)
La primera y la segunda ecuación son proporcionales, de forma que basta una de ellas (y la tercera) para resolverlo, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x-y=&0\\x+y+2z=&0\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=&\lambda\\y+2z=&-\lambda\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&\lambda\\y=&\lambda\\z=&-\lambda\\t=&0\\\end{cases}}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dadas las rectas
\(r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\), \(r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\)
se pide:
a) (2 ptos) Hallar la ecuación de la recta \(t\) que corta a \(r_1\) y \(r_2\) y es perpendicular a ambas
b) (1 pto) Hallar la mínima distancia entre \(r_1\) y \(r_2\)
a)La perpendicular común a ambas rectas se calcula como la intersección de dos planos que deben contener cada uno a una de las rectas y ser perpendicular a la recta
Para encontrar un vector \(\vec{v}\) perpendicular a ambas rectas, se calcula el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas, ver cómo obtener el vector director de una recta dada
\(\vec{v}=\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}}=(1,0,0)\times (0,1,1)=(0,-1,1)\)
De esta forma, consultando cómo resolver determinantes, los planos quedarían, ver cómo se construye un plano
\(\pi:\begin{cases}A=&(0,1,3)\\\vec{v_{r_1}}=&(1,0,0)\\\vec{v}=&(0,-1,1)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x &y-1&z-3\\ 1&0&0\\ 0&-1&1\end{array}=0\Rightarrow\pi: -y-z+4=0\)
\(\sigma:\begin{cases}B=&(0,0,0)\\\vec{v_{r_2}}=&(0,1,1)\\\vec{v}=&(0,-1,1)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x &y&z\\ 0&1&1\\ 0&-1&1\end{array}=0\Rightarrow\sigma: 2x=0\)
Luego, la ecuación pedida se hallará resolviendo el siguiente sistema, ver resolución de sistemas de ecuaciones
\(t\equiv\begin{cases}y+z-4=&0\\ 2x=&0\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&0\\ y=&4-\lambda\\ z=&\lambda \\\end{cases}}\)
b) La distancia mínima pedida puede calcularse como la altura, \(h\), del paralelepípido formado por los vectores de las dos rectas dadas y el segmento formado por un punto de cada recta
Consultando cómo hallar el volumen de un tetraedro, se tiene
\(V=\hbox{Base}\times h\Rightarrow d(r_1,r_2)=h=\frac{V}{\hbox{Base}}=\frac{\vec{AB}.(\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}})}{|\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}}|}\)
Por el apartado anterior se sabe que \(\vec{v_{r_1}}\times\vec{v_{r_2}}=\vec{v}=(0,-1,1)\) y recordando cómo calcular un producto escalar, se tiene
\(d(r_1,r_2)=\frac{|0+1-3|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\bbox[yellow]{\sqrt{2}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Calcular los límites:
a) (1 pto) \(\lim\limits_{x\to 0}(1+\arctan x)^{\frac ax}\qquad\quad\) b) (1 pto) \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+2e^x}{7x+5e^x}\)
a) \(\lim\limits_{x\to 0}(1+\arctan x)^{\frac ax}=(1+\arctan 0)^{\frac a0}=1^{\infty}\)
De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se utilizan algunas propiedades de los límites y la Regla de L’Hôpital
\(\lim\limits_{x\to 0}(1+\arctan x)^{\frac ax}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\Big[\frac ax(1+\arctan x-1)\Big]}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}e^{\frac 00}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{a}{1+x^2}}{1}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{a}{1+x^2}}=e^{\frac{a}{1+0^2}}=\bbox[yellow]{e^{a}}\)
b) En este caso se utilizará la Regla de L’Hôpital,
\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+2e^x}{7x+5e^x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+2e^x}{7+5e^x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2e^x}{5e^x}=\bbox[yellow]{\frac 25}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Calcular:
a) (1 pto) \(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx\qquad\quad\) b) (1 pto) \(\displaystyle\int_0^{\pi}x\cos x dx\)
a) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene
\(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=\displaystyle\int_0^1 x(4-x^2)^{-\frac 12}dx=-\frac 12\frac{(4-x^2)^{\frac 12}}{\frac 12}\Big]_0^1=\bbox[yellow]{2-\sqrt{3}}\)
b) En este caso se resolverá la integral por partes, recordar cómo resolver una integral por partes, siendo \(u=x\Rightarrow du=dx\) y \(dv=\cos x\Rightarrow v=\sin x\),
\(\displaystyle\int_0^{\pi}x\cos x dx=x\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x dx=x\sin x\Big]_0^{\pi}+\cos x\Big]_0^{\pi}=(\pi\sin\pi +\cos\pi)-(0\sin 0 +\cos 0)=\bbox[yellow]{-2} \)
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