OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dados el plano
\(\pi_1\equiv 2x-3y+z=a\)
y el plano \(\pi_2\) determinado por el punto \(P(0,2,4)\) y los vectores \(\vec{v_1}=(0,2,6)\) y \(\vec{v_2}=(1,0,b)\), se pide:
a) (1 pto) Calcular los valores de \(a\) y \(b\) para que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) sean paralelos
b) (1 pto) Para \(a=1\) y \(b=0\), determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
c) (1 pto) Para \(a=4\) y \(b=-2\), determinar los puntos que están a igual distancia de \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
a) Primeramente se calcula la ecuación general para el plano \(\pi_2\), ver cómo se construye un plano y ver cómo resolver determinantes
\(\pi_2\equiv\begin{cases}P(0,2,4)&\\ \vec{v_1}=(0,2,6)&\\ \vec{v_2}=(1,0,b)&\\\end{cases}\Rightarrow\pi_2\equiv\begin{array}{|crl|}x &y-2&z-4\\ 0&2&6\\ 1&0&b\end{array}=0\Rightarrow\pi_2\equiv 2bx+6y-2z-4=0\)
Para que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) sean paralelos, se tiene que cumplir, ver cuándo dos planos serán paralelos,
\(\frac{2}{2b}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}\neq\frac{a}{4}\Rightarrow \bbox[yellow]{b=-2}\) y \(\bbox[yellow]{a\neq -2}\)
b) Para \(a=1\) se tiene \(\pi_1\equiv 2x-3y+z=1\) y para \(b=0\) se tiene \(\pi_2\equiv 6y-2z=4\)
La recta intersección será la solución del siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(r\equiv\begin{cases}2x-3y+z=1&\\ 6y-2z=4&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{r\equiv\begin{cases}x=&\frac 32\\ y=&\lambda\\ z=&-2+3\lambda\\\end{cases}}\)
c) Para \(a=4\) se tiene \(\pi_1\equiv 2x-3y+z=4\) y para \(b=-2\), \(\pi_2\equiv -4x+6y-2z=4\)
La distancia entre un punto genérico \(P(x,y,z)\) y un plano viene determinado por la siguiente fórmula, ver cómo calcular la distancia entre un punto y un plano
\(d(P,\pi_1)=d(P,\pi_2)\Rightarrow\frac{|2x-3y+z-4|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=\frac{|2x-3y+z+2|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}\\)
Simplificando se obtiene \(|2x-3y+z-4|=|2x-3y+z+2|\Rightarrow \bbox[yellow]{\pi\equiv 2x-3y+z-1=0}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Los puntos \(P(1,2,1)\), \(Q(2,1,1)\) y \(A(a,0,0)\) con \(a>3\), determinan un plano \(\pi\) que corta a los semiejes positivos de \(OY\) y \(OZ\) en los puntos \(B\) y \(C\) respectivamente. Calcular el valor de \(a\) para que el tetraedro determinado por los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo
El ejercicio pide optimizar (minimizar en este caso) el volumen del tetraedro determinado por el plano \(\pi\) y los planos coordenados
Primeramente se calcula la ecuación general de \(\pi\), ver cómo construir un plano
\(\pi\equiv\begin{cases}P(1,2,1)&\\ \vec{QP}=(-1,1,0)&\\ \vec{AP}=(1-a,2,1)&\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x-1 &y-2&z-1\\ -1&1&0\\ 1-a&2&1\end{array}=0\)
Resolviendo el determinante, ver cómo resolver determinantes, se obtiene la ecuación del plano \(\pi\equiv x+y+(a-3)z=a\Rightarrow\pi\equiv\frac xa+\frac ya+\frac{z}{\frac{a}{a-3}}=1\)
El volumen de un tetraedro viene dado por la siguiente fórmula, ver cómo calcular el volumen de un tetraedro y ver también cómo se calcula el producto mixto
\(V=\frac 16|\vec{a}(\vec{b}\times\vec{c})|=\frac 16\begin{array}{|crl|}a &0&0\\ 0&a&0\\ 0&0&\frac{a}{a-3}\end{array}=\frac 16 \frac{a^3}{a-3}\)
Para calcular el mínimo del volumen se deriva \(V\) y se iguala a cero, ver cómo obtener un mínimo de una función y la tabla de derivadas
\(V’=0\Rightarrow\frac{2a^3-9a^2}{(a-3)^2}\Rightarrow a=0\) y \(a=\frac 92\)
Como el enunciado dice que \(a>3\), se descarta la solución \(a=0\), de forma que la solución será \(a=\frac 92\)
Para comprobar si se trata de un mínimo o un máximo, se evalúa el signo de \(V’\) antes y después del valor \(\frac 92\): \(V'(0)<0\) y \(V'(5)>0\), luego \(\bbox[yellow]{a=\frac 92}\) es un mínimo
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Dado el sistema:
\(\displaystyle\begin{cases}x+2y-z=&0\\2x-y+z=&3\\\end{cases}\)
se pide:
a) (1 pto) Estudiar la compatibilidad del sistema
b) (0,5 ptos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta
c) (0,5 ptos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-1\\ 2&-1& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &2&-1&0\\ 2&-1& 1&3\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) puede ser menor o igual que dos
Recordando cómo se resuelven determinantes, y tomando un menor dos por dos en las matrices, se obtiene
\(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 2&-1\end{array}=-5\neq 0\Rightarrow \hbox{Rango }A^{*}=\hbox{Rango }A=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{ el sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para que un sistema sea compatible determinado, los rangos de las matrices \(A\) y \(A^{*}\) tienen que coincidir y ser iguales además al número de incógnitas en el sistema (en este caso, tres), recordar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
Añadiendo la fila \((0,\; 0,\;1)\) (\((0,\; 0,\;1,\;0)\) en el caso de \(A^{*}\)) se tiene
\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-1\\ 2&-1& 1\\0 &0&1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &2&-1&0\\ 2&-1& 1&3\\0 &0&1&0\end{pmatrix}\)
Calculando el determinante de \(A\) se obtiene \(|A|=1\neq 0\), luego, el rango de \(A\) será tres, así como el de \(A^{*}\), y como tres son las incógnitas del sistema, \(\bbox[yellow]{\hbox{si se incluye la fila }(0,\; 0,\;1)\hbox{ el sistema es compatible determinado}}\)
c) Para que el sistema sea incompatible, los rangos de \(A\) y \(A^{*}\) no deben coincidir, ver la teoría del estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
Lo más sencillo es incluir una ecuación en el sistema que contradiga alguna de las que ya hay, el caso más fácil es incluir una ecuación que sea la suma de las dos ecuaciones existentes excepto es uno de los coeficientes (por ejemplo, el término independiente)
Es decir, \(\displaystyle\begin{cases}x+2y-z=&0\\2x-y+z=&3\\3x+y=&0\\\end{cases}\)
De esta forma, las matrices correspondientes son
\(A=\begin{pmatrix}1 &2&-1\\ 2&-1& 1\\3&1&0\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &2&-1&0\\ 2&-1& 1&3\\3 &1&0&0\end{pmatrix}\)
Estudiando los determinantes de ambas matrices se concluye que \(|A|=0\), por lo que el rango de \(A\) será dos ó uno
En cambio, en la matriz \(A^{*}\) es posible encontrar el menor \(\begin{array}{|crl|}1 &2&0\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 0\end{array}\neq 0\)
Luego, el determinante de \(A^{*}\) es tres, así que en rango de \(A\) es distinto del rango de \(A^{*}\), luego el sistema es incompatible si se añade la ecuación \(\bbox[yellow]{3x+y=0}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Dada la matriz:
\(A=\begin{pmatrix}-a&0&a\\ a&a-1&0\\ 0&a&a+2\end{pmatrix}\)
se pide:
a) (1 pto) Estudiar el rango de \(A\) según los valores del parámetro \(a\)
b) (1 pto) ¿Para qué valores de \(a\) existe inversa \(A^{-1}\) Calcular \(A^{-1}\) para \(a=1\)?
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Calculando su determinante se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}-a & 0 & a\\a & a-1 & 0\\0 & a & a+2\end{array}=-a(a-1)(a+2)=0\Rightarrow a(2-a)\Rightarrow a=0\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq 0,-2\), \(|A|\neq 0\) \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq 0,-2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(a=0\), \(|A|=0\) y como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}-1& 0\\0 & 2\end{array}=-2\neq 0\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(a=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}-2 &0&2\\ 2&1&0\\ 0&2&4\end{pmatrix}\)
Tomando el menor
\(\begin{array}{|crl|}-2& 0\\2 & 1\end{array}=-2\neq 0\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
b) Para que \(A\) tenga inversa, el determinante ha de ser distinto de cero, ver teoría de matrices, por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{existe inversa de }A\hbox{ para }a\neq 0,2}\)
Sustituyendo en \(A\) el valor de \(a=1\), se tiene \(\begin{pmatrix}-1 &0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&3\end{pmatrix}\)
Resolviendo el determinante de \(A\) en este caso, se tiene que \(|A|=1\). Aplicando la fórmula para hallar la inversa de una matriz, ver cómo calcular la inversa de una matriz, \(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz adjunta de \(A\) y trasponiéndola, se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\begin{pmatrix}0 &1&0\\ -3&3&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}}\)