OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos)
a) (1 pto) Calcula los límites:
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}\qquad\) y \(\qquad\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}\)
b) (1 pto) Calcula la integral \(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{1+3x^2}dx\)
c) (1 pto) Halla el dominio de definición de la función \(f(x)=\sqrt{x^2-9x+14}\). Halla el conjunto de puntos donde la función tiene derivada
a) Para resolver los límites, consultar la teoría de cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}=\frac{2}{4+e^{-(\infty+1)}}=\frac{2}{4+0}=\bbox[yellow]{\frac 12}\)
\(\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}=\frac{2}{4+e^{-(-\infty+1)}}=\frac{2}{4+\infty}=\bbox[yellow]{0}\)
b) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene
\(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{1+3x^2}dx=\displaystyle\frac 16\int_0^1\frac{6x}{1+3x^2}dx=\frac 16\ln |1+3x^2|Big]_0^1=(\frac 16\ln |1+3.1^2|)-(\frac 16\ln |1+3.0^2|)=\bbox[yellow]{\frac 16\ln 4}\)
c) El dominio de la función serán todos los números que hagan que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo, ver dominio de una función y consultar también cómo resolver polinomios, en este caso \(x^2-9x+14= 0\Rightarrow x=2\) y \(x=7\)
Estudiando el signo de \(x^2-9x+14\) antes y después de los valores obtenidos, se tiene que \(x^2-9x+14\) es positivo antes de \(x=2\) y después de \(x=7\), mientras que en el intervalo entre \(2\) y \(7\) es negativo (y en \(2\) y \(7\) toma el valor cero)
Por lo tanto, el dominio será \(\bbox[yellow]{x\in (-\infty,2]\cup [7,\infty)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dados los planos
\(\pi_1\equiv 2x+3y+z-1=0,\;\;\) \(\;\pi_2\equiv 2x+y-3z-1=0\)
y la recta
\(r\equiv\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}\)
se pide:
a) (1 pto) El punto o puntos de \(r\) que quidisten de \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
b) (1 pto) El volumen del tetraedro que \(\pi_1\) forma con los planos \(XY\), \(YZ\) e \(YZ\)
c) (1 pto) La proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\pi_2\)
a) Sea \(P(x,y,z)\) el punto genérico pedido, consultando la fórmula de la distancia de un punto a un plano, se tiene
\(d(P,pi_1)=d(P,pi_2)\Rightarrow\frac{|2x+3y+z-1|}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}=\frac{|2x+y-3z-1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}}\)
Simplificando se tiene \(2x+3y+z-1=\pm(2x+y-3z-1)\Rightarrow\sigma_1\equiv y+2z=0\) y \(\sigma_2\equiv 2x+2y-z-1=0\)
Los puntos pedidos se obtendrán resolviendo los sistemas de ecuaciones siguientes, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}\sigma_1\equiv&y+2z=0\\ r\equiv&\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{P(3,0,0)}\)
y
\(\begin{cases}\sigma_2\equiv&2x+2y-z-1=0\\\ r\equiv&\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{P'(\frac 12,-\frac 54,-\frac 52)}\)
b) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de
\(\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
En este caso dichos vectores se obtiene a partir de la ecuación del plano dada en el enunciado
\(2x+3y+z-1=0\Rightarrow\frac{x}{\frac 12}+\frac{y}{\frac 13}+\frac z1=1\)
Es decir, \(\vec{a}=(\frac 12,0,0)\), \(\vec{b}=(0,\frac 13,0)\) y \(\vec{c}=(0,0,1)\)
Por lo tanto, sabiendo cómo resolver determinantes, se obtiene el resultado
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}\frac 12 &0&0\\\ 0&\frac 13&0 \\\ 0&0&1\end{array}=\frac 16 \frac 16=\bbox[yellow]{\frac{1}{36}}\)
c) La intersección ortogonal de una recta sobre un plano se puede obtener como la intersección de dos planos, sobre el que se proyecta la recta y un plano (sigma) perpendicular al que se proyecta y que contenga a la recta que se quiere proyectas
Es decir, \(\begin{array}{|crl|}x-1 &y+1&z+2\\\ 2&1&2 \\\ 2&1&3\end{array}=0\)
Desarrollando el determinante, ver cómo resolver determinantes, se tiene \(\sigma\equiv x-2y-3=0\)
Luego, la proyección pedida será la solución del siguiente sistema, ver resolución de sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}\pi_1\equiv&2x+3y+z-1=0 \\ \sigma\equiv&x-2y-3=0\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&3+2\lambda\\ y=&\lambda z=&\frac 53+\frac 53 \lambda\end{cases}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Calcular el rango de la matriz
\(\begin{pmatrix}1&3&-2 \\-1&1&a 2&0&-a\\ a+2&0&a\end{pmatrix}\)
según los valores del parámetro (a)
La matriz tiene tres columnas, luego, como máximo el rango será tres, ver rango de matrices
Tomando los siguientes menores (3times 3) se tiene, ver cómo resolver determinantes,
\(\begin{array}{|crl|}1 & 3 & -2\\ -1 & 1 & a\\ 2 & 0 & -a\end{array}=2(a+2)\) y \(\begin{array}{|crl|}1 & 3 & -2\\ -1 & 1 & a\\ a+2 & 0 & a\end{array}=3a^2+12a+4\)
Como no hay soluciones comunes para estos determinantes, el rango de la matriz no puede ser tres. Por otra parte, es posible encontrar un menor \(2\times 2\) en la matriz tal que su determinante sea distinto de cero:
\(\begin{array}{|crl|}1 & 3\\ -1 & 1\end{array}=4\neq 0\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{El rango de la matriz es }3\hbox{ para todo valor de }a}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Dada la matriz
\(M=\begin{pmatrix}\sin x&\cos x&0\\ \cos x&-\sin x&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\)
Se pide:
a) (0,5 ptos) Calcular el determinante de la matriz
b) (1 pto) Hallar la matriz \(M^2\)
c) (0,5 ptos) Hallar la matriz \(M^{25}\)
a) Consultando cómo resolver determinantes y recordando las igualdades trigonométricas, se obtiene
\[|M|=\begin{array}{|crl|}\sin x & \cos x & 0 \\ \cos x & -\sin x & 0 \\ 0& 0 & 1\end{array}=-\sin ^2x-\cos ^2x=\bbox[yellow]{-1}\]
b) \(M^2=M.M=\begin{pmatrix}\sin x&\cos x&0 \\ \cos x&-\sin x&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}\sin x&\cos x&0 \\ \cos x&-\sin x&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\)
Consultando el apartado de cómo multiplicar matrices, se obtiene el resultado
\(M^2=\begin{pmatrix}\sin x\sin x+\cos x.\cos x&\sin x.\cos x+\cos x(-\sin x)&\sin x.0+\cos x.0+0.1 \\ \cos x.\sin x+(-\sin x)\cos x&\cos x.\cos x+(-\sin x)(\sin x)&\cos x.0+(-\sin x).0+0.1\\ 0.\sin x+0.\cos x+1.0&0.\cos x+0.(-\sin x)+1.0&0.0+0.0+1.1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin^2 x+\cos^2 x&\sin x\cos x-\cos x\sin x&0 \\ \cos x\sin x-\sin x\cos x&\cos^2 x+\sin^2 x&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{I}\)
c) Como se ha visto en el apartado anterior, la matriz es periódica, de forma que
\(M^n=\begin{cases}M&\hbox{si }n\hbox{ es impar}\\ I&\hbox{si }n\hbox{ es par}\end{cases}\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{M^{25}=M}\)
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