OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (Calificación-3 ptos)
Dados el punto \(P(-1,0,2)\) y las rectas
\(\displaystyle r:\begin{cases}x-z=&1\\\ y-z=&-1\\\end{cases}\), \(\displaystyle s:\begin{cases}x=&1+\lambda \\\ y=&\lambda \\\ z=&3\\\end{cases}\)
Se pide:
a) (1 pto) Determinar la posición relativa de \(r\) y \(s\)
b) (1 pto) Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(P\) y corta a \(r\) y \(s\)
c) (1 pto) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a \(r\) y \(s\)
a) La posición relativa entre dos rectas se determina estudiando el rango de la matriz formada por los vectores directores de cada recta y un vector formado por un punto de cada recta, ver posiciones relativas
En este caso, el vector director de \(r\) será \(\vec{v}=(1,1,1)\), ver cómo calcular el vector director de una recta y un punto de \(r\) será \(A(1,-1,0)\)
En el caso de la recta \(s\) se tiene \(\vec{u}=(1,1,0)\) y \(B(1,0,3)\)
De esta manera, el vector formado por los puntos \(A\) y \(B\) sería \(\vec{AB}=(1,0,3)-(1,1,0)=(0,1,3)\)
Luego la matriz a estudiar será
\(\begin{pmatrix}0 &1&3\\ 1&1&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}\)
Consultando cómo calcular determinantes y posición relativa entre dos rectas, se tiene
\(\begin{array}{|crl|} 0 &1&3\\ 1&1&1\\ 1&1&0\end{array}=1\neq 0\Rightarrow Rg=3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{las rectas se cruzan pero no se cortan}}\)
b) La recta pedida será la intersección entre el plano formado por la recta \(r\) y el punto \(P\) y el plano formado por la recta \(s\) y el punto \(P\), ver cómo formar planos
\(\displaystyle \pi_1:\begin{cases}P&(-1,0,2)\\\ \vec{v}=&(1,1,1)\\\ \vec{AP}=&(-2,1,2)\\\end{cases}\)
Entonces,
\(\begin{array}{|crl|}x+1 &y-0&z-2\\ 1&1&1\\ -2&1&2\end{array}=0\Rightarrow\pi_1\equiv x-4y+3z-5=0\)
Y el segundo plano será
\(\displaystyle \pi_2:\begin{cases}P&(-1,0,2)\\\ \vec{u}=&(1,1,0)\\\ \vec{BP}=&(-2,0,-1)\\\end{cases}\)
Entonces,
\(\begin{array}{|crl|}x+1 &y-0&z-2\\ 1&1&0\\ -2&0&-1\end{array}=0\Rightarrow\pi_2\equiv -x+y+2z-5=0\)
Luego, la recta pedida será \(\bbox[yellow]{t\equiv\begin{cases}x-4y+3z-5&=0\\\ -x+y+2z-5&=0\\\end{cases}}\)
c) Para calcular la perpendicular a dos rectas se calcula como intersección de dos planos. Para ello se calcula el producto vectorial entre los vectores directores de ambas rectas, ver cómo calcular el producto vectorial
\(\vec{w}=\begin{array}{|crl|}\vec{x} &\vec{y}&\vec{z}\\ 1&1&1\\ 1&1&0\end{array}=(-1,1,0)\)
Con el vector obtenido y cada recta se determinarán los dos planos cuya intersección será la perpendicular común a \(r\) y a \(s\)
\(\displaystyle \pi_3:\begin{cases}A&(1,-1,0)\\\ \vec{v}=&(1,1,1)\\\\ \vec{w}=&(-1,1,0)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x-1 &y+1&z\\ 1&1&1\\ -1&1&0\end{array}=0\Rightarrow\pi_3\equiv x+y-2z=0\)
Y
\(\displaystyle \pi_4:\begin{cases}B&(1,0,3)\\\ \vec{u}=&(1,1,0)\\\\ \vec{w}=&(-1,1,0)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{|crl|}x-1 &y&z-3\\ 1&1&0\\ -1&1&0\end{array}=0\Rightarrow\pi_4\equiv z-3=0\)
Luego la recta perpendicular será \(\bbox[yellow]{t_1\equiv\begin{cases}x+y-2z&=0\\\ z-3&=0\\\end{cases}}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dado el sistema de ecuaciones lineales: \(\displaystyle\begin{cases}ax+7y+5z=&0\\x+ay+z=&3 \\y+z=&-2\\\end{cases}\) Se pide:
a) (2 ptos) Discutirlo según los valores de \(a\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=4\)
b) (1 pto) Resolverlo para el caso \(a=2\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}a &7&5\\ 1&a& 1\\ 0&1& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}a &7&5&0\\ 1&a& 1&3\\ 0&1& 1&-2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Consultando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a^2-a-2=0\Rightarrow a=-1\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq -1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -1,2}\)
– Si \(a=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}-1 &7\\ 1& -1\end{array}=-6\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|crl|}-1 &7&0\\ 1& -1& 3\\ 0& 1& -2\end{array}=15\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-1,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(a=2\), \(|A|=0\) y es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 0& 1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Todos los menores tres por tres de \(A^{*}\) tienen determinante nulo
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=4\) se tiene que el sistema: \(\displaystyle\begin{cases}4x+7y+5z=&0\\x+4y+z=&3 \\y+z=&-2\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=a^2-a-2=10\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}0 & 7 & 5 \\3 & 4 & 1\\-2 & 1 &1\end{array}=20\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}4 & 0 & 5 \\1 & 3 & 1\\0 & -2 &1\end{array}=10\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}4 & 7 & 0 \\1 & 4 & 3\\0 & 1 &-2\end{array}=-30\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(2,1,-3)}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Dada la función \(f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}\), se pide:
a) (1 pto) Hallar las asíntotas de su gráfica
b) (1 pto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=2\)
a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x=3\), éste será el punto de posible asíntota vertical
\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}\frac{x^3}{(x-3)^2}=\frac{27}{0^{+}}=\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}\frac{x^3}{(x-3)^2}=\frac{27}{0^{-}}=-\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=3}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{(x-3)^2}=\pm\infty\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay horizontales }}\)
. Asintótas oblicuas:
Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)
Con \(m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^3}{(x-3)^2}}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{(x-3)^2}=1\)
Y \(n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(\frac{x^3}{(x-3)^2}-x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-(x^3-6x^2+9x)}{x^2-6x+9}=6\)
Luego, la recta \(\bbox[yellow]{y=x+6}\) será asíntota oblicua
b) La ecuación de la recta tangente en \(x=2\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(2)=f'(2)(x-2)\)
Primeramente se calculará el valor de la función en el punto pedido, \(f(2)=\frac{2^3}{(2-3)^2}=8\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3x^2(x-3)^2-x^32(x-3)}{(x-3)^4}=\frac{x^3-9x^2}{(x-3)^3}\)
Luego, \(f'(2)=\frac{2^3-9.2^2}{(2-3)^3}=28\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-8=28(x-2)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=28x-48}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Calcular razonadamente las siguientes integrales
a) (1 pto) \(\displaystyle\int \frac{x-3}{x^2+9}dx\qquad\quad\)
b) (1 pto) \(\displaystyle\int_1^{2}\frac{3-x^2+x^4}{x^3}dx\)
a) La integral puede escribirse como la resta de dos integrales, ver propiedades de las integrales y consultar también la tabla de integrales
\(\displaystyle\int \frac{x-3}{x^2+9}dx=\int \frac{x}{x^2+9}dx-\int \frac{3}{x^2+9}dx=\frac 12\ln |x^2+9|-3\frac 13\arctan \frac x3 +C=\bbox[yellow]{\frac 12\ln |x^2+9|-\arctan \frac x3 +C}\)
b) Como en el caso anterior, es posible escribir la integral como la suma de, en este caso, tres integrales,
\(\displaystyle\int_1^{2}\frac{3-x^2+x^4}{x^3}dx=\int_1^{2}\frac{3}{x^3}dx\int_1^{2}\frac{x^2}{x^3}dx+\int_1^{2}\frac{x^4}{x^3}dx=\int_1^{2}3x^{-3}dx-\int_1^{2}\frac 1xdx+\int_1^{2}xdx=\frac{3x^{-2}}{-2}-\ln |x|+\frac{x^2}{2}\Big]_1^2=\Big(\frac{2^2}{2}-\frac{3}{2.2^2}-\ln |2|\Big)-\Big(\frac{1^2}{2}-\frac{3}{2.1^2}-\ln |1|\Big)=\bbox[yellow]{\frac{21}{8}-\ln |2|}\)
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