Examen de Selectividad Madrid Ciencias Septiembre 2013

OPCIÓN A

Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la función \(f(x)=\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}\)

Se pide:
a) (0,75 ptos) Hallar las asíntotas de su gráfica
b) (1,75 ptos) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión
c) (0,5 ptos) Esbozar la gráfica de la función

a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas

. Asintótas verticales:

Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, los denominadores se anulan en \(x=4\) y \(x=-1\), consultando cómo resolver límites, se tiene

\(\lim\limits_{x\to -1^{-}}\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=\infty\)

Luego, hay una asíntota vertical en \(\boxed{x=-1}\)

Por otra parte,

\(\lim\limits_{x\to 4^{-}}\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to 4^{+}}\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=\infty\)

De manera que hay otra asíntota vertical en \(\boxed{x=4}\)

. Asintótas horizontales:

Consultando cómo se resuelven límites, se tiene que

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5(7x-20)}{2(x^2-3x-4)}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{7x}{x^2}=0\)

Luego, hay una asíntota horizontal en \(\boxed{y=0}\)

. Asintótas oblicuas:

Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)
Pero como hay asíntotas horizontales, no puede haber asíntotas oblicuas, luego \(\boxed{\hbox{no hay}}\)

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudiarán calculando los máximos y mínimos de la función, ver máximos y mínimos, la tabla de derivadas y consultar también cómo resolver polinomios

\(f'(x)=\dfrac52\dfrac{-7x^2+40x-88}{(x^2-3x-4)^2}=0\Rightarrow 7x^2-40x+88=0\Rightarrow x=\dfrac{40\pm\sqrt{-864}}{14}\) que no está en \(\mathbb{R}\)

Por lo tanto, no habrá máximos ni mínimos

Para hallar los puntos de inflexión de \(f(x)\), se estudia la curvatura de la función, para ello se iguala la segunda derivada a cero (hallada en el apartado anterior), ver cómo estudiar la curvatura de una función y consultar también cómo resolver polinomios

\(f''(x)=5\dfrac{7x^3-60x^2+264x-344}{(x^2-3x-4)^3}=0\Rightarrow 7x^3-60x^2+264x-344=0\)

Utilizando la Regla de Ruffini se resuelve el polinomio, obteniendo la única raíz real \(x=2\), luego, el punto de inflexión será \(\boxed{(2,-\dfrac{31}{2})}\)

Para saber cómo cambia la curvatura de la función, se evalúa el signo de la segunda derivada antes y después del punto obtenido y antes y después de la asíntotas verticales obtenidas \(x=-1\) y \(x=4\)

Se tiene que la función en \((-\infty,-1)\) y de \((2,4)\) será convexa, y en el intervalo \((-1,2)\) y en el \((4,\infty)\) será cóncava

c) Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función

- El dominio en este caso serán todos los números reales menos \(\{-1,4\}\) ya que los denominadores se anulan en esos valores, ver dominio de una función

- Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(f(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{20}{7}\), luego la función cortará a \(y=0\) en \(x=\dfrac{20}{7}\)

Por otra parte, evaluando \(f(0)\) se tiene \(f(0)=\dfrac{100}{8}\), luego otro punto de corte será \((0,\dfrac{100}{8})\)

Con estos datos y los obtenidos en los apartados anteriores, es posible dibujar la función

 

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Ejercicio 2: (3 ptos) Dadas las matrices:

\(A=\begin{pmatrix}1&1&a&a\\ a&1&1&a\\ a&a&1&1\\ a&a&a&1\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ w\end{pmatrix}\), \(O=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)

se pide:

a) (1,5 ptos) Calcular el determinante de \(A\). Determinar el rango de \(A\) según los valores de \(a\)
b) (0,5 ptos) Resolver el sistema homogéneo \(AX=O\) en el caso \(a=1\)
c) (1 pto) Resolver el sistema homogéneo \(AX=O\) cuando \(a=-1\)

a) Con el objetivo de tener una columna con todos sus términos cero excepto uno y de este modo poder hallar el determinante (multiplicando el valor del término distinto de cero de la columna por el determinante del menor que queda), ver cómo calcular determinantes, se restan y suman filas en el determinante dado

\(\begin{array}{|crl|}1&1&a&a\\ a&1&1&a\\ a&a&1&1\\ a&a&a&1\end{array}=\begin{pmatrix}F_2=F_2-aF_1\\ F_3=F_3-aF_1\\ F_4=F_4-aF_1\end{pmatrix}=\begin{array}{|crl|}1&1&a&a\\ 0&1-a&1-a^2&a-a^2\\ 0&0&1-a^2&1-a^2\\ 0&0&a-a^2&1-a^2\end{array}=1(-1)^2\begin{array}{|crl|}1-a&1-a^2&a-a^2\\ 0&1-a^2&1-a^2\\ 0&a-a^2&1-a^2\end{array}=1(-1)^2(1-a)\begin{array}{|crl|}1-a^2&1-a^2\\ a-a^2&1-a^2\end{array}=\boxed{(1-a)^3(1+a)}\)

- Si \(a\neq\pm 1\), el determinante es distinto de cero, por lo tanto \(\boxed{\hbox{si } a\neq\pm 1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }4}\)

- Si \(a=1\), \(|A|=0\) y la matriz sería \(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\), y en esta matriz sólo hay menores de orden uno distintos de cero

Por lo tanto, \(\boxed{\hbox{si } a=1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }1}\)

- Si \(a=-1\), \(|A|=0\) y es posible encontrar un menor tres por tres tal que

\(\begin{array}{|crl|}-1&1&1\\ -1&-1&1\\ -1&-1&-1\end{array}\)

Por lo tanto, \(\boxed{\hbox{si } a=-1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)

b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=1\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene

\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\0\end{pmatrix}\)

Para resolver el sistema, al ser todas las filas iguales entre sí, el problema tiene una sóla ecuación y cuatro incógnitas, luego, para resolverlo debe darse el valor de parámetros a las variables, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones

De esta forma, \(\boxed{\begin{cases}x=&-\lambda -\mu -t\\ y=&\lambda \\ z=&\mu\\ w=&t\\\end{cases}}\)

c) Sustituyendo \(a=1\) en \(A\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene

\(\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ -1&1&1&-1\\ -1&-1&1&1\\ -1&-1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\0\end{pmatrix}\)

Es decir, se tiene \(\begin{cases}x+y-z-w=&0\\ -x+y+z-w=&0 \\ -x-y+z+w=&0\\ -x-y-z+w=&0\\\end{cases}\)

Como la primera ecuación es proporcional a la tercera, el sistema tiene tres ecuaciones y cuatro incógnitas y para resolverlo se da el valor de un parámetro a una de las variables y se despeja el resto, ver resolución de sistemas de ecuaciones

De esta forma, \(\boxed{\begin{cases}x=&\lambda\\ y=&0 \\ z=&0\\ w=&\lambda\\\end{cases}}\)

Ejercicio 3: (Calificación- 2ptos)
Dados los puntos \(A(2,-2,1)\), \(B(0,1,-2)\), \(C(-2,0,-4)\) y \(D(2,-6,2)\), se pide:

a) (1 pto) Probar que el cuadrilátero \(ABCD\) es un trapecio (que tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos
b) (1 pto) Hallar el área del triángolo \(ABC\)

a) Para determinar que el cuadrilátero es un trapecio hay que comprobar que dos de los vectores que forman sus vértices son paralelos, ver paralelogramos:

\(\vec{AB}=(0,1,-2)-(2,-2,1)=(-2,3,-3)\)
\(\vec{BC}=(-2,0,-4)-(0,1,-2)=(-2,-1,-2)\)
\(\vec{CD}=(2,-6,2)-(-2,0,-4)=(4,-6,6)\)
\(\vec{DA}=(2,-2,1)-(2,-6,2)=(0,4,-1)\)

En este caso, \(\vec{AB}\) y \(\vec{CD}\) son paralelos

La distancia entre los dos lados paralelos vendrá dada por la distancia entre el punto \(C\) y la recta \(AB\), ver cómo calcular distancias entre una recta y un punto,

\(d(C, r_{AB})=\dfrac{\vec{AC}\times\vec{AB}}{\vec{AB}}\)

Calculando factor a factor y consultando cómo calcular un producto vectorial, se tiene

\(\vec{AC}=(-2,0,-4)-(2,-2,1)=(-4,2,-5)\)
\(\vec{AC}\times\vec{AB}=\begin{array}{|crl|}\vec{x} &\vec{y}&\vec{z}\\ -4&2&-5\\ -2&3&-3\end{array}=(9,2,-8)\)

De forma que quedaría

\(d(C, r_{AB})=\dfrac{|(9,2,-8)|}{|(-2,3,-3)|}=\boxed{\dfrac{\sqrt{149}}{\sqrt{22}}}\)

b) El área viene dada por la fórmula, ver área de un paralelogramo,

\(\dfrac 12|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\boxed{\dfrac 12\sqrt{149}}\)

 

Ejercicio 4: (Calificación- 2 ptos)
Dado el punto \(P(1,2,-1)\) y el plano \(\pi: x+2y-2z+2=0\), sea \(S\) la esfera tangente al plano \(\pi\) en un punto \(P'\) tal que el segmento \(PP'\) es uno de sus diámetros. Se pide:

a) (1 pto) Hallar el punto de tangencia \(P'\)
b) (1 pto) Hallar la ecuación de \(S\)

a) El punto \(P'\) será la intersección de la recta \(r\) con el plano \(\pi\), siendo \(r\) la perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\), ver rectas y planos,

\(\begin{cases}P&(1,2,-1)\\\ \vec{v}=\vec{n_{\pi}}=&(1,2,-2)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=&1+\lambda\\\ y=&2+2\lambda\\\ z=&-1-2\lambda\\\end{cases}\)

Es decir, \(P':\begin{cases}\begin{cases}x=&1+\lambda\\\ y=&2+2\lambda\\\ z=&-1-2\lambda\\\end{cases}\\\ \pi: x+2y-2z+2=0\\\end{cases}\Rightarrow 9\lambda +9=0\Rightarrow\lambda=1\)

Por lo tanto, sustituyendo el valor de \(\lambda\) en \(x,y,z\) se tiene el resultado \(\boxed{P'(0,0,1)}\)

b) La ecuación de una esfera se puede obtener sabiendo los datos del centro y el radio. En este caso, el centro será el punto medio del segmento \(\vec{PP'}\), y el radio será la mitad del módulo de dicho segmento

Es decir, \(C(\dfrac{1+0}{2},\dfrac{2+0}{2},\dfrac{-1+1}{2})=C(\dfrac 12,1,0)\)

El radio sería \(\dfrac 12|\vec{PP'}|=\dfrac 12|(1-0,2-0,-1-1)|=\dfrac 12|(1,2,-2)|=\dfrac 12\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\dfrac 32\)

Por lo tanto, la ecuación de la esfera pedida será \((x-\dfrac 12)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=(\dfrac 32)^2\), que si se desarrolla queda \(\boxed{C: x^2+y^2+z^2-x-2y-2=0}\)

Ver la Opción B de este examen