OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1:(3 ptos) Dada la función
\(\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}\)
se pide:
a) (1 pto) Determinar el dominio de \(f\) y sus asíntotas
b) (1 pto) Calcular \(f'(x)\) y determinar los extremos relativos de \(f(x)\)
c) (1 pto) Calcular \(\displaystyle\int_0^1f(x)dx\)
a) El dominio de una función cociente serán todos los números reales menos los que hacen cero el denominador, repasar la teoría de dominio de una función
En este caso,
\(x=-1\) y \(x=-4\) anulan los denominadores, así que el dominio de la función será \[\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}\setminus\{-1,-4\}}\]
Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no pertenecen al dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x=-1, -4\), éstos serán los puntos de posibles asíntotas verticales
\(\lim\limits_{x\to -1^{-}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{0^{-}}+\frac{-1}{3}=-\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{0^{+}}+\frac{-1}{3}=+\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=-1}\) será una asíntota vertical
Por otra parte, para el otro punto
\(\lim\limits_{x\to -4^{-}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{-3}+\frac{-4}{0^{-}}=\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to -4^{+}}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=\frac{1}{-3}+\frac{-4}{0^{+}}=-\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=-4}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}=1\)
Luego, habrá una asíntota horizontal en \(\bbox[yellow]{y=1}\)
. Asintótas oblicuas:
No existen asíntotas oblicuas debido a que existen asíntotas horizontales, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay oblicuas}}\)
b) Reescribiendo primero la función \(f(x)=\frac{x+4+x^2+x}{(x+1)(x+4)}=\frac{x^2 +2x+4}{x^2+5x+4}\)
Para obtener la derivada de la función, consultar la tabla de derivadas,
\(f'(x)=\frac{(2x+2)(x^2+5x+4)-(x^2+2x+4)(2x+5)}{(x^2+5x+4)^2}\)
Para estudiar los extremos relativos o máximos y mínimos se iguala la derivada a cero, ver cómo hallar extremos relativos de una función
\(f'(x)=\frac{(2x+2)(x^2+5x+4)-(x^2+2x+4)(2x+5)}{(x^2+5x+4)^2}=0\Rightarrow\)
\(2x^3+12x^2+18x+8-(2x^3+9x^2+18x+20)=0\Rightarrow 3x^2-12=0\)
Despejando la ecuación de segundo grado, se tiene \(x=\pm\sqrt{4}=\pm 2\)
Para saber si los puntos obtenidos son máximos o mínimos se evalúa el signo de la derivada antes y después de los puntos obtenidos, ver cómo saber si son máximos o mínimos
\(f'(-3)>0, f'(0)<0\) y \(f'(3)>0\), por lo tanto \((-2,f(-2))=\bbox[yellow]{(-2,-2)}\) es un máximo y \((2,f(2))=\bbox[yellow]{(2,\frac 23)}\) es un mínimo
c) Para calcular la integral, recordar la teoría sobre cómo calcular integrales definidas y además la tabla de integrales
\(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\int_0^1 \frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+4}dx=\int_0^1 \frac{1}{x+1}dx+\int_0^1\frac{x}{x+4}dx\)
Recordando cómo dividir polinomios, se tiene que \(\frac{x}{x+4}=1-\frac{4}{x+4}\) y finalmente repasando las propiedades de los logaritmos, se tiene
\(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\ln x-1\Big|_0^1+\int_0^1 1-\frac{4}{x+4}dx=\ln x-1-x-4\ln x+4\Big|_0^1=\bbox[yellow]{5\ln 2-4\ln 3-2}\)
Ejercicio 2: (3 ptos)
Dadas las matrices
\(A\begin{pmatrix}1 &a&a\\ 1& a&1\\ a-1& a&2\end{pmatrix};\) \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\), \(O=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Determinar el valor o valores de \(a\) para los cuales no existe la matriz inversa \(A^{-1}\)
b) (1 pto) Para \(a =-2\), hallar la matriz inversa \(A^{-1}\)
c) (1 pto) Para \(a =1\), calcular todas las soluciones del sistema lineal \(AX=O\)
a) Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}1 &a&a\\ 1& a&1\\ a-1& a&2\end{array}=a(1-a)(a-2)=0\Rightarrow \bbox[yellow]{a=0, a=1, a=2}\)
b) Para \(a=-2\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}1 &-2&-2\\ 1& -2&1\\ -3& -2&2\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=-2(1+2)(-2-2)=24\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}-2 &8&-6\\ -5& -4&-3\\ -8& 8&0\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(\bbox[yellow]{A^{-1}=\frac{1}{24}\begin{pmatrix}-2 &8&-6\\ -5& -4&-3\\ -8& 8&0\end{pmatrix}}\)
c) Transformando la expresión dada en ecuación matricial y recordando cómo operar con matrices, se tiene
\(AX=O\Rightarrow\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1& 1&1\\ 0& 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}x+y+z=&0\\ x+y+z=&0 \\ y+2z=&0\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y+z=&0\\ y+2z=&0\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{(\lambda,-2\lambda,\lambda)}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos)
Dados los puntos \(A(2,0,-2)\), \(B(3,-4,-1)\), \(C(5,4,-3)\) y \(D(0,1,4)\), se pide:
a) (1 pto) Calcular el área del triángulo de vértices \(A, B y C\)
b) (1 pto) Calcular el volumen del tetraedro \(ABCD\)
a) El área del triángulo se hallará calculando la norma del producto vectorial de \(\vec{AB}\) y \(\vec{BC}\) y dividiéndola entre dos
Teniendo en cuenta que \(\vec{AB}=(1,-4,1)\) y \(\vec{BC}=(2,8,-2)\) y la teoría sobre cómo se calcula un producto vectorial, entonces
\(A=\frac 12\begin{array}{|crl|}1 &-4&1\\ 2&8&-2\end{array}=\frac{\sqrt{272}}{2}=\bbox[yellow]{8,25 u^2}\)
b) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de
\(V=\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
En este caso, teniendo en cuenta los vectores hallados en el apartado anterior, \(\vec{AB}=(1,-4,1)\) y \(\vec{BC}=(2,8,-2)\) y hallando \(\vec{AD}=(-2,1,6)\), se tiene
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}1 &-4&1\\ 2&8&-2\\ -2&1&6\end{array}=\bbox[yellow]{\frac{50}{3}u^3}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Dados los planos
\(\pi_1\equiv 2x+z-1=0\quad\), \(\pi_2\equiv x+z+2=0\quad\), \(\pi_3\equiv x+3y+2z-3=0\),
se pide:
a) (1 pto) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
b) (1 pto) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano \(\pi_3\)
a) Las ecuaciones paramétricas se obtienen dando a una variable el valor \(\lambda\) y despejando el resto de variables en función de dicho valor, ver cómo hallar las ecuaciones paramétricas
\(\begin{cases}2x+z-1=&0\\ x+z+2=&0 \\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}z=&\lambda\\ x=&-2-\lambda \\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{r\equiv\begin{cases}x=&-2-\lambda\\ y=&0\\ z=&\lambda \\\end{cases}}\)
b) Recordando la expresión del producto escalar entre dos vectores, ver producto escalar entre dos vectores, y sabiendo que el vector perpendicular al plano \(\pi_3\) es \(\vec{v_{\pi_3}}=(1,3,2)\), ver teoría sobre planos, y con \(\alpha\) el ángulo formado entre el vector perpendicular al plano y la recta, se tiene,
\(\cos\alpha=\frac{\vec{v_r}\cdot\vec{v_{\pi_3}}}{|\vec{v_r}||\vec{v_{\pi_3}}|}=\frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{2}}\Rightarrow\alpha=79,10\)º
Como \(\alpha\) era el ángulo formado entre el vector perpendicular al plano y el vector director de la recta \(r\), para encontrar el ángulo pedido, \(\beta\), formado entre la recta y el plano, se tiene \(\beta= 90-\alpha=10,8933\)º
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\sin\beta=0,1889}\)
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