Examen de Selectividad Madrid Ciencias Septiembre 2014 Opción B

OPCIÓN B

Ejercicio 1:(3 ptos) Dada la función

Dados el plano \(\pi\) y la recta \(r\) siguientes:
\(\pi\equiv 2x-y+2z+3=0, r\equiv\begin{cases}x=&1-2t\\\ y=&2-2t\\\ z=&1+t\\\end{cases}\)

a) (1 pto) Estudiar la posición relativa de \(r\) y \(\pi\)
b) (1 pto) Calcular la distancia entre \(r\) y \(\pi\)
c) (1 pto) Calcular el punto simétrico \(P'\) de \(P(3,2,1)\) respecto del plano \(\pi\)

a) Sustituyendo los valores de la recta en el plano \(\pi\), se tiene \(2.(1-2t)-(2-2t)+2(1+t)+3=0\Rightarrow 5=0\). Por lo tanto, como la ecuación hallada no tiene solución, \(\boxed{r\hbox{ y }\pi\hbox{ son paralelos}}\)

b) Como la recta y el plano son paralelos, basta calcular la distancia de cualquier punto de la recta al plano para calcular la distancia que hay entre \(r\) y \(\pi\), ya que todos los puntos distarán del plano lo mismo

Tomando el valor \(t=0\) se tiene el punto \(P(1,2,1)\)

Consultando cómo calcular la distancia de una recta a un plano, se tiene

\(d(P,\pi)=\dfrac{|p_1.a+p_2.b+p_3.c+d|}{(\sqrt{a^2+b^2+c^2})}=\dfrac{|2.1-1.2+2.1+3|}{(\sqrt{2^2+1^2+2^2})}=\boxed{\frac 53\hbox{ unidades}}\)

c) Revisar la parte en la que se explica cómo hallar un punto simétrico

Primeramente se calculará una recta que pasa por el punto \(P\) y es perpendicular a \(\pi\),

\(r'\equiv\begin{cases}x=&3+2t\\\ y=&2-t\\\ z=&1+2t\\\end{cases}\)

Ahora se calcula el punto de corte entre \(r'\) y \(\pi\)

\(2(3+2t)-2-t+2(1+2t)+3=0\Rightarrow t=-1\)

Por lo tanto, el punto de corte será \((1,3,-1)\), además, este punto es el punto medio \(M\) entre el punto \(P\) y el simétrico \(P'\), así que

\(1 = \dfrac{x + 3}{2} \Rightarrow x=-1,\;\; 3=\dfrac{y+2}{2}\Rightarrow y=4, \;\; -1=\dfrac{z+1}{2}\Rightarrow z=-3\)

Por lo tanto, el punto simétrico será \(\boxed{P'(-1, 4, -3)}\)

Ejercicio 2:(3 ptos)

Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}\dfrac{5\sin x}{2x}+\dfrac 12&x<0\\\ a&x=0\\\ xe^{x}+3&x>0,\\\end{cases}\)

se pide:

a) (1 pto) Hallar, si existe, el valor de \(a\) para que \(f\) sea continua
b) (1 pto) Decidir si la función es derivable en \(x=0\) para algún valor de \(a\)
c) (1 pto) Calcular la integral \(\int_1^{\ln 5}f(x)dx\), donde \(ln\) denota el logaritmo neperiano

a) La función está formada por polinomios y por una fracción de polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios y el valor de \(x\) que hace que el denominador de la fracción se anule, es decir; \(x=0\) (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}xe^{x}+3=3\)

Calculando el otro límite lateral, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{5\sin x}{2x}+\dfrac 12=\dfrac 00 +\dfrac 12\)

Se trata de una indeterminación, ver indeterminaciones, por lo tanto, para resolverla se utiliza la Regla de L'Hôpital,

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{5\sin x}{2x}+\dfrac 12= \lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{5\cos x}{2}+\dfrac 12= \dfrac 52 +\dfrac 12=3\)

Por otra parte, \(f(0)=a\), luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\boxed{a=3}\)

b) Para que la función sea derivable la función tiene que ser continua (en este caso, como se ha visto en el apartado anterior, \(a=3\)) y además tiene que cumplirse que \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), ver derivabilidad

En este caso, calculando primeramente la posible derivada de la función, se tiene

\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}\dfrac{5\cos x. 2x -5\sin x. 2}{4x^2}&x<0\\ 0&x=0\\ e^x +xe^x&x>0\\\end{cases}\)

Evaluando \(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}e^x +xe^x=1\)

Por otra parte,
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{5\cos x. 2x -5\sin x. 2}{4x^2}=\dfrac 00\)

Se trata de nuevo de una indeterminación, ver indeterminaciones, y para resolverla se utiliza la Regla de L'Hôpital,

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{5\cos x. 2x -5\sin x. 2}{4x^2}= \lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{-5\sin x. 2x+5\cos x. 2 -5\cos x. 2}{8x}= \lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{-5\sin x. 2}{8}=0\)

Luego, para que \(f\) fuera derivable en cero, \(1=0\), lo cual no tiene sentido y no se cumple en ningún caso, por lo tanto, \(\boxed{f(x) \hbox{ no es derivable en }0}\)

c) La integral puede escribirse como la suma de dos integrales, ver propiedades de las integrales y consultar también la tabla de integrales

\(\displaystyle\int_1^{\ln 5}xe^{x}+3dx=\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx+ \int_1^{\ln 5}3dx\)

Y la integral \(\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx\) se hará por partes, ver cómo resolver una integral por partes,

\(\displaystyle\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx= xe^x \Big |_1^{\ln 5}- \int_1^{\ln 5}e^{x}dx=xe^x + e^x\Big |_1^{\ln 5}\)

Así que, \(\displaystyle\int_1^{\ln 5}xe^{x}+3dx=\int_1^{\ln 5}xe^{x}dx+ \int_1^{\ln 5}3dx=xe^x + e^x+3\Big |_1^{\ln 5}=7,88 - 3=\boxed{4,88}\)

 

Ejercicio 3:(2 ptos)

 Dada la ecuación matricial

\(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}.B=\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}\)

 donde \(B\) es una matriz cuadrada 2x2, se pide:

a) (1 pto) Calcular el valor o valores de \(a\) para los que esta ecuación tiene solución.
b) (1 pto) Calcular \(B\) en el caso a = 1

a) La ecuación tendrá solución única cuando sea posible despejar \(B\), es decir, cuando la matriz \(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}\) tenga inversa ya que

\(B=\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}\), ver ecuaciones matriciales

Para que exista \(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\), el determinante de \(\begin{pmatrix}a &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\) debe ser no nulo. En este caso

\(\begin{array}{|crl|}a &2\\ 3& 7\end{array}=7a -6=0\Rightarrow a=\dfrac 67\)

Es decir, \(\boxed{\hbox{para todo }a\neq\dfrac 67,\hbox{ existe solucin}}\)

b) Para \(a=1\), se tiene

\(\begin{pmatrix}1 &2\\ 3& 7\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}\)

El determinante de esa matriz será en este caso \(|A|=7.1-6=1\), ver cómo calcular determinantes

La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz

\(A^{-1}=\dfrac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)

Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene

\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}7 &-2\\ -3& 1\end{pmatrix}\)

Por lo tanto, la inversa será \(A^{-1}=\begin{pmatrix}7 &-2\\ -3& 1\end{pmatrix}\)

Quedando así el resultado final para \(B\), ver cómo operar con matrices

\(B=\begin{pmatrix}7 &-2\\ -3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &1\\ 1& 1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}5 &5\\ -2& -2\end{pmatrix}}\)

Ejercicio 4:(2 ptos)
Estudiar el rango de la matriz
\(A=\begin{pmatrix}2&-1&-3&5\\ 2&2&-1&a\\ 1&1&1&6\\ 3&1&-4&a\end{pmatrix}\)

según los valores del parámetro \(a\)

Para estudiar el rango de la matriz se resuelve el determinante asociada a dicha matriz por adjuntos, ver cómo calcular determinantes,

\(|A|=-5\begin{array}{|crl|}2 & 2& -1\\ 1 & 1& 1\\ 3 & 1& -4\end{array}+a\begin{array}{|crl|}2 & -1& -3\\ 1 & 1& 1\\ 3 & 1& -4\end{array}-6\begin{array}{|crl|}2 & -1& -3\\ 2 & 2& -1\\ 3 & 1& -4\end{array}+a\begin{array}{|crl|}2 & -1& -3\\ 2 & 2& -1\\ 1 &1& 1\end{array}=-5.6+a(-11) -6(-7) +a.9=0\Rightarrow a=6\)

Por lo tanto, \(\boxed{\hbox{Para }a\neq 6\hbox{ el Rango es }4}\) y \(\boxed{\hbox{para }a=6\hbox{ el Rango es }3}\)