OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se considera la función \(f(x)=-0,4x+3,2y\) sujeta a las siguientes restricciones
\(\displaystyle\begin{cases}x+y\leq&7\\x+4y\geq&4\\x+5\geq&4\\0\leq x\leq 5&\\y\geq 0,&\\\end{cases}\)
a) Represéntese la región \(S\) del plano determinada por el conjunto de restricciones
b) Calcúlense los puntos de la región \(S\) donde la función \(f\) alcanza sus valores máximo y mínimo
c) Calcúlense dichos valores máximo y mínimo
a) Para obtener los vértices de la región pedida, se resuelven las ecuaciones dos a dos, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultar cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado
\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\x+4y=&4\\\end{cases}\Rightarrow A(0,1)\)
\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\x-y=&-5\\\end{cases}\Rightarrow B(0,5)\)
\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&7\\x-y=&-5\\\end{cases}\Rightarrow C(1,6)\)
\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&7\\x=&5\\\end{cases}\Rightarrow D(5,2)\)
\(\displaystyle\begin{cases}y=&0\\x=&5\\\end{cases}\Rightarrow E(5,0)\)
y
\(\displaystyle\begin{cases}y=&0\\x+4y=&4\\\end{cases}\Rightarrow F(4,0)\)
De forma que la región pedida será
b) Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetiva \(f(x,y)\), se obtienen los siguientes resultados
\(\displaystyle\begin{cases}f(0,1)=&3,2\\f(0,5)=&16\\f(1,6)=&18,8\\f(5,2)=&4,4\\f(5,0)=&-2\\f(4,0)=&-1,6\\\end{cases}\)
Luego, \(f(x,y)\) alcanza el valor mínimo en el punto \(\bbox[yellow]{E(5,0)}\) y el máximo en \(\bbox[yellow]{C(1,6)}\)
c) Los valores serán \(\bbox[yellow]{f(1,6)=18,8}\) y \(\bbox[yellow]{f(5,0)=-2}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Se considera el rectángulo \(R\) de vértices \(BOAC\) con \(B(0,b)\), \(O(0,0)\), \(A(a,0)\) y \(C(a,b)\) con \(a>0,b>0\) y cuyo vértices \(C\) está situado en la parábola de ecuación \(y=-x^2+12\)
a) (1 pto) Para \(a=3\), determínense las coordenadas de los vértices de \(R\) y calcúlese el área de \(R\)
b) (1 pto) Determínense las coordenadas de los vértices de \(R\) de manera que el área del rectángulo sea máxima
c) (1 pto) Calcúlese el valor de dicha área máxima
a) Si \(a=3\) y el vértice de la parábola viene dado por \(C(a,b)\), se tendrá que \(b=-3^2+12=3\), ver geometría de una parábola
De manera que y se tienen los vértices dle rectángulo \(R\) buscado, \(O(0,0),\; A(3,0),\; C(3,3),\; D(0,3)\)
El área del un rectángulo viene determinada por \(A=a.b\), ver área de un rectángulo
Por lo tanto, \(A=3.3=\bbox[yellow]{9}\)
b) Sabiendo que el punto \(C\) pertenece a la parábola y, por otra parte, teniendo en cuenta la fórmula del área del rectángulo, los parámetros \(a,b\) tienen que cumplir que
\(\begin{cases}b=-a^2+12&\\A=a.b&\\\end{cases}\Rightarrow A=-a^3+12a\)
Para hallar el máximo pedido se deriva la función \(A(a)\) y se iguala a cero la derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y consultar también la tabla de derivadas,
\(A'(a)=-3a^2+12=0\Rightarrow a=\pm 2\)
El valor negativo de \(a\) no tiene sentido (ya que se está hablando de la medida de un lado de un rectángulo), luego sólo se tendrá en cuenta \(a=2\)
Para comprobar si es máximo el punto crítico obtenido se evalúa en la segunda derivada,
\(A»(a)=-6a\) y \(A»(2)=-12<0\), luego, en \(a=2\quad\hbox{y }b=-2^2+12=8\) se alcanza un máximo para el área del rectángulo
Por lo tanto, el rectángulo de área máxima tendrá los siguientes vértices
\(\bbox[yellow]{O(0,0),\; A(2,0),\; C(2,8),\; D(0,8)}\)
c) Sustituyendo los valores hallados en el apartado anterior (\(a=2,b=8\)), se tiene \(A=2.8\Rightarrow\bbox[yellow]{A=16}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Una bolsa contiene diez monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza
a) Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento
b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz?
a) Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Escoger una monede con cara y cruz
\(B\equiv\) Escoger una moneda con dos caras
\(D\equiv\) Escoger una moneda con dos cruces
\(C\equiv\) Obtener cara en el lanzamiento de una moneda
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(A)=\frac{5}{10}\)
\(P(B)=\frac{3}{10}\)
\(P(D)=\frac{2}{10}\)
\(P(C|A)=\frac 12\)
\(P(C|B)=1\)
\(P(C|D)=0\)
a) La probabilidad de que salga cara será la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la moneda \(A\), más la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la \(B\), más la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la \(D\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(C)=P((A\cap C)\cup (B\cap C)\cup (D\cap C))=P(A\cap C)+P(B\cap C)+P(D\cap C)=P(A).P(C|A)+P(B)P(C|B)+P(D)P(C|D)=\frac{5}{10}.\frac 12+\frac{3}{10}.1+\frac{2}{10}.0=\bbox[yellow]{\frac{11}{20}}\)
b) Se trata de una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada
\(P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{\frac{5}{10}.\frac 12}{\frac{11}{20}}=\bbox[yellow]{\frac{5}{11}}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por una cierta empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(0,5\) Kg. Una muestra aleatoria de \(9\) rollos ha dado un peso medio de \(10,3\) Kg
a) Determínese un intervalo de confianza al \(90\)%para el peso medio de los rollos de cable que produce dicha empresa
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que \(0,2\) Kg con probabilidad igual a \(0,98\)?
a) Se define la variable aleatoria \(x\) como el peso en kilos de un rollo de cable eléctrico con distribución \(N(\mu, \sigma)\)
Las medias de tamaño nueve siguen una distribución \(\bar{x}:N(\mu,\frac{0,5}{\sqrt{9}})\)
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,10\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,65\)
Por lo tanto,
\(IC=(10,3-1,65\frac{0,5}{\sqrt{9}},10,3+1,65\frac{0,5}{\sqrt{9}})=\bbox[yellow]{(10,02, 10,57)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(98\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,98\Rightarrow\alpha=0,02\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,33\), por lo tanto, \(n>(2,33\frac{0,5}{0,2})^2=33,93\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 34}\)
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