OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(k\): \(\displaystyle\begin{cases}x-y+kz=&1\\2x-ky+z=&2 \\x-y-z=&k-1\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(k\)
b) Resuélvase el sistema para el valor de \(k\) para el cual el sistema tiene infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para \(k=3\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &-1&k\\ 2&-k& 1\\ 1&-1& -1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &-1&k&1\\ 2&-k& 1&2\\ 1&-1& -1&k-1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=k^2-k-2=0\Rightarrow k=-1\) y \(k=2\)
– Si \(k\neq -1,2\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }k\neq -1,2}\)
– Si \(k=-1\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-1\\ 2& 1\end{array}=1-(-2)=3\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|crl|}1 &-1&1\\ 2& 1& 2\\ 1& -1& -2\end{array}=-9\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=-1,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(k=2\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &2\\ 2& 1\end{array}=-3\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=2\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }k=2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(k=2\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x-y+2z=&1\\2x-2y+z=&2 \\x-y-z=&1\\\end{cases}\)
Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x+2z=&1+\lambda\\ 2x+z=&2+2\lambda\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}1 & 2 \\2 & 1\end{array}=-3\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1+\lambda & 2\\2+2\lambda & 1\end{array}=-3-3\lambda\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1+\lambda\\2 & 2+2\lambda\end{array}=0\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\lambda,\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(1+\lambda,\lambda, 0)}\)
c) Para \(k=3\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}x-y+3z=&1\\2x-3y+z=&2 \\x-y-z=&2\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=3^2-3-2=4\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1 & -1 & 3 \\2 & -3 & 1\\2 & -1 &-1\end{array}=12\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 3 \\2 & 2 & 1\\1 & 2 &-1\end{array}=5\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -1 & 1 \\2 & -3 & 2\\1 & -1 &2\end{array}=-1\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(3,\frac 54,-\frac 14)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}x+4&x<0\\ 4-x^2&0\leq x\leq 2\\ ax+b&x>2\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Calcúlense \(a,b\) para que la función sea continua y derivable
b) (1 pto) Determínense la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \(x=1\)
c) (1 pto) Para \(a=1,b=-2\), calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de la función y el eje \(OX\)
a) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=2\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}(ax+b)=2a+b\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}(4-x^2)=4-2^2=0=f(2)\)
Luego, para que la función sea continua en \(2\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(2a+b=0\)
Para que la función sea derivable tiene que cumplirse que \(f'(2^{-})=f'(2^{+})\), ver derivabilidad
En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, ver la tabla de derivadas, se tiene
\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}1&x\leq 0\\ -2x&0\leq x\leq 2\\ a&x>2\\\end{cases}\)
Evaluando \(f'(2^{-})=f'(2^{+})\), se tiene que \(a=-4\), luego para que la función sea continua y derivable
\(\bbox[yellow]{a=-4,b=8}\)
b) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)
Primeramente se calculará \(f(1)=4-1^2=3\) y la derivada de la función en el punto, \(f'(1)=-2\),
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-3=-2(x-1)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=-2x+5}\)
c) La función con \(a=1,b=-2\) será
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}x+4&x<0\\ 4-x^2&0\leq x\leq 2\\ x-2&x>2\\\end{cases}\)
Para hallar el área pedida, se calculará la integral definida de \(f(x)\), ver cómo se calcula una integral definida
Para saber los límites de la integral, se estudian los puntos de cortes de la función con el eje \(OX\),
\(x+4=0\Rightarrow x=-4\) y \(4-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2\qquad\) y \(\qquad x-2=0\Rightarrow x=2\), como el valor \(x=-2\) no pertenece al intervalo del polinomio \(4-x^2\), no se considerará como límite de integración
De forma que los límites de la integral serán \(-4\) y \(0\) (ya que cero es el valor donde la función cambia al polinomio siguiente) para el polinomio \(x+4\) y \(0\) y \(2\) para \(4-x^2\), consultando la tabla de integrales es posible obtener el resultado pedido
\(A=\displaystyle\int_{-4}^0(x+4)dx+\displaystyle\int_{0}^2(4-x^2)dx=\frac{x^2}{2}+4x\Big]_{-4}^1+ 4x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2=8+8-\frac 83=\bbox[yellow]{\frac{40}{3}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un experimento aleatorio tales que \(P(A)=0,2\) y \(P(B)=0,4\)
a) Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, determínses \(P(A\cap B)\)). ¿Son además \(A\) y \(B\) independientes? Razónese
b) Si \(A\) y \(B\) son independientes, calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes? Razónese
c) Si \(P(A|B)=0\), calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes?¿Son independientes? Razónese
d) Si \(A\subset B\), calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) independientes? Razónese
a) Dos sucesos son mutuamente excluyentes si al ocurrir uno es imposible que el otro ocurra, es decir, no existen elementos comunes ys u intersección es el vacío, ver teoría de la probabilidad
Luego, \(\bbox[yellow]{P(A\cap B)=0}\)
Además, \(\bbox[yellow]{\hbox{los sucesos no son independientes}}\), ya que si lo fueran debería cumplirse que \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) y este caso, \(P(A)P(B)=0,2.0,4=0,08\neq 0\)
b) Si los sucesos son independientes se tiene, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=0,2.0,4=\bbox[yellow]{0,08}\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{No son excluyentes}}\) ya que la inersección es distinta de cero
c) Utilizando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada, se tiene
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0\Rightarrow P(A\cap B)=0\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{los sucesos son excluyentes y no son independientes}}\)
d) Si \(A\subset B\), \(P(A\cap B)=P(A)=0,2\)
Es decir, \(P(A)P(B)=0,2.0,4=0,08\neq P(A\cap B)=0,2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{Los sucesos no son independientes}}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(10\) centímetros de euro. Una muestra aleatoria simple de tamaño \(256\) proporciona un precio medio del kilo de patatas a \(19\) céntimos de euro
a) Determínese un intervalo de confianza al \(95\)% para el precio medio de un kilo de patatas en la región
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse?
a) Se define la variable aleatoria \(x\) como el peso en kilos de un rollo de cable eléctrico con distribución \(N(\mu, \sigma)\)
Las medias de tamaño nueve siguen una distribución \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{252}})\)
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(19-1,96\frac{10}{\sqrt{256}},19+1,96\frac{10}{\sqrt{256}})=\bbox[yellow]{(17,8, 20,2)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
El error máximo se obtiene a partir de la amplitud del intervalo, ver estadística, en este caso
\(E=\frac{|17,8-20,2|}{2}=1,2\)
Al ser \(99\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,99\Rightarrow\alpha=0,01\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\), por lo tanto, \(n>(2,58\frac{10}{1,2})^2=462,25\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 463}\)