OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real \(a\):
\(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.x+\begin{pmatrix}1&-1\\ -3& 2\\ -4& a\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 22\\ 7a\end{pmatrix}\)
a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro \(a\)
b) Resuélvase el sistema para el valor de \(a\) para el cual el sistema tiene infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para \(a=0\)
Operando se obtiene el sistema de ecuaciones lineales, ver cómo operar matrices
\(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.x+\begin{pmatrix}1&-1\\ -3& 2\\ -4& a\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 22\\ 7a\end{pmatrix}\Rightarrow>\begin{pmatrix}x+y-z\\ 2x-3y+2z\\ x-4y+az\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 22\\ 7a\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}x+y-z=&1\\ 2x-3y+2z=&22 \\ x-4y+az=&7a\\\end{cases}\)
a)Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &1&-1\\ 2&-3& 2\\ 1&-4& a\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&-1&1\\ 2&-3& 2&22\\ 1&-4& a&7a\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=15-5a=0\Rightarrow a=3\)
– Si \(a\neq 3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 3}\)
– Si \(a=3\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 2& -3\end{array}=-5\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(a=3\), se observa que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=3\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x+y-z=&1\\2x-3y+2z=&22 \\x-4y+3z=&21\\\end{cases}\)
Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x+y=&1+\lambda\\ 2x-3y=&22-2\lambda\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante del sistema (en este caso con las dos ecuaciones linealmente independientes entre sí) \(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\2 & -3\end{array}=-5\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1+\lambda & 1\\22-2\lambda & -3\end{array}=-25-\lambda\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 1+\lambda\\2 & 22-2\lambda\end{array}=20-4\lambda\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\lambda)=\bbox[yellow]{(5+\frac 15\lambda,-4+\frac 45\lambda, \lambda)}\)
c) Para \(a=0\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}x+y-z=&1\\2x-3y+2z=&22 \\x-4y=&0\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=15-5a=15\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & -1 \\22 & -3 & 2\\0 & -4 &0\end{array}=96\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & -1 \\2 & 22 & 2\\1 & 0 &0\end{array}=24\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 1 \\2 & -3 & 22\\1 & -4 &0\end{array}=105\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac{32}{5},\frac 85,7)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Es coste de un marco para una ventana rectangular es de \(50\) euros por cada metro de lado vertical y de \(25\) euros por cada metro de lado horizontal. Se desea construir una ventana de superficie igual a \(2m^2\). Calcúlese sus dimensiones (largo y alto) para que el marco sea lo más barato posible. Calcúlese el precio mínimo del marco de dicha ventana
Considerando \(x\) la longitud de la base del marco e \(y\) la altura, el coste (y la función a minimizar) será
\(P(x,y)=25.2x+50.2y=50x+100y\)
Teniendo en cuenta que el enunciado dice que el área es igual a \(2m^2\) y la fórmula para el área de un rectángulo, se tiene,
\(x.y=2\Rightarrow y=\frac 2x\)
Incluyendo este despeje en la ecuación a minimizar, se tiene
\(P(x)=50x+100\frac 2x=50x+\frac{200}{x}\)
Para hallar el mínimo pedido se deriva la función \(P(x)\) y se iguala a cero la derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y consultar también la tabla de derivadas,
\(P'(x)=50-\frac{200}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm 2\)
El valor negativo de \(x\) no tiene sentido (ya que se está hablando de la medida de un lado de un rectángulo), luego sólo se tendrá en cuenta \(x=2\)
Para comprobar si es mínimo el punto crítico obtenido se evalúa en la segunda derivada,
\(P»(x)=\frac{400}{x^3}\), luego, \(P»(2)=0\), de forma que \(x=2,y=\frac 22=1\) es un mínimo de la función \(P(x,y)\)
Por lo tanto, las dimensiones que hacen el coste mínimo son \(\bbox[yellow]{x=2m,y=1m}\)
El valor de este coste mínimo será \(P(2,1)=50.2+100.1\Rightarrow \bbox[yellow]{P(2,1)=200\hbox{ euros}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Se consideran los sucesos \(A\), \(B\) y \(C\) de un experimento aleatorio, tales que:
\(P(A|C)\geq P(B|C);\qquad\)\(\qquad P(A|\bar{C})\geq P(B|\bar{C})\)
Razónese cuál de las siguientes desigualdades es siempre cierta
a) \(P(A)<P(B)\qquad\)b)\(P(A)\geq P(B)\)
a) Aplicando el Teorema de Bayes a cada desigualdad dada en el enunciado, ver probabilidad condicionada, se tiene
\(P(A|C)\geq P(B|C)\Rightarrow \frac{A\cap C}{P(C)}\geq\frac{P(B\cap C)}{P(C)}\Rightarrow P(A\cap C)\geq P(B\cap C)\)
Por otra parte,
\(P(A|\bar{C})\geq P(B|\bar{C})\Rightarrow \frac{A\cap \bar{C}}{P(\bar{C})}\geq\frac{P(B\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}\Rightarrow P(A\cap \bar{C})\geq P(B\cap \bar{C})\)
Por la definición de la probabilidad de la intersección se tiene
\(P(A\cap\bar{C})=P(A)-P(A\cap C)\quad\) y \(\quad P(B\cap\bar{C})=P(B)-P(B\cap C)\)
Es decir, \(P(A)-P(A\cap C)\geq P(B)-P(B\cap C)\)
Ordenando la expresión, se obtiene
\(P(A)-P(B)\geq P(A\cap C)-P(B\cap C)\)
Si \(P(A\cap C)\geq P(B\cap C)\Rightarrow P(A\cap C)-P(B\cap C)\geq 0\)
Uniendo ambas expresiones se tiene que \(P(A)-P(B)\geq 0\Rightarrow\bbox[yellow]{P(A)\geq P(B)}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(320\). Se toma una muestra simple de \(36\) elementos
a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual que \(50\)
b) Determínese un intervalo de confianza del \(95\)% para la media de la distribución normal, si la media muestral es igual a \(4820\)
a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable dada, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística
Para muestras de tamaño \(36\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{36}})\)
El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)\)
Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 50)=1-P(-50<\bar{x}-\mu< 50)=1-P(\mu-50<\bar{x}< \mu +50)\)
Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)
De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{36}}}\) y
\(1-P(\mu-50<\bar{x}< \mu +50)=1-P(\frac{\mu-50-\mu}{\frac{320}{36}}<z<\frac{\mu+50-\mu}{\frac{320}{36}})=1-P(-0,94<z<0,94)=1-(P(z<0,94)-P(z\leq -0,94))=1-(P(z<0,94)-P(z\geq 0,94))=1-(P(z<0,94)-(1-P(z< 0,94))\)
Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)=0,3472}\)
b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(4820-1,96\frac{320}{\sqrt{36}},4820+1,96\frac{320}{\sqrt{36}})=\bbox[yellow]{(4715,5; 4924,5)}\)
Ir a la Opción B de este examen