OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(a\): \(\displaystyle\begin{cases}ax+y+z=&a\\ay+z=&1 \\ax+y+az=&a\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para \(a=3\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}a &1&1\\ 0&a& 1\\ a&1& a\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}a &1&1&a\\ 0&a& 1&1\\ a&1& a&a\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a^2(a-1)=0\Rightarrow a=0\) y \(a=1\)
– Si \(a\neq 0,1\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 0,1}\)
– Si \(a=0\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 0& 1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el siguiente menor \(3\times 3\),
\(\begin{array}{|crl|}1 &1&0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=0,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
– Si \(a=1\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 0& 1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=2\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=1\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x+y+z=&1\\y+z=&1 \\y+z=&1\\\end{cases}\)
Como la segunda y la tercera ecuación son iguales, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables (en este caso, \(z=\lambda\)) para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x=&0\\ y=&1-\lambda\\\end{cases}\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=\bbox[yellow]{(0,1-\lambda, \lambda)}\)
c) Para \(a=3\) se tiene que el sistema es: \(\displaystyle\begin{cases}3x+y+z=&3\\3y+z=&1 \\3x+y+3z=&3\\\end{cases}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=a^3-a^2=18\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}3 & 1 & 1 \\1 & 3 & 1\\3 & 1 &3\end{array}=16\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}3 & 3 & 1 \\0 & 1 & 1\\3 & 3 &3\end{array}=6\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}3 & 1 & 3 \\0 & 3 & 1\\3 & 1 &3\end{array}=0\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac{8}{9},\frac 13,0)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dada la función
\(f(x)=\frac{3x}{x^2-2}\)
a) (1 pto) Especifíquese el dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con los ejes coordenados. Determínense las asíntotas de \(f\)
b) (1 pto) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto \(x=1\)
c) (1 pto) Calcúlese la integral definida \(\displaystyle\int_2^3 f(x)dx\)
a) El dominio de la función serán todos los números que hagan que el denominador distinto de cero, ver dominio de una función
Es decir, \(\bbox[yellow]{D=\mathbb{R}-\{\pm\sqrt{2}\}}\)
Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0\), luego la función corta en \(\bbox[yellow]{(0,0)}\)
Por otra parte, haciendo \(x=0\) en la función, se tiene de nuevo el punto \((0,0)\)
Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, los únicos puntos reales en los que no está definida la función son \(\pm\sqrt{2}\)
Para comprobar si en esos puntos hay asíntotas se calculan los límites laterales de la función.
\(\lim\limits_{x\to \sqrt{2}}\frac{3x}{x^2-2}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to -\sqrt{2}}\frac{3x}{x^2-2}=\infty\)
Luego, hay asíntotas verticales en \(\bbox[yellow]{x=\pm\sqrt{2}}\)
. Asintótas horizontales:
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0\), luego hay una asíntota horizontal en \(\bbox[yellow]{y=0}\)
. Asintótas oblicuas:
Como hay asíntotas horizontales, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas
b) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)
Primeramente se calculará el valor de la función en el punto pedido, \(f(1)=\frac{3.1}{1^2-2}=-3\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3(x^2-2)-3x.2x}{(x^2-2)^2}=\frac{-3x^2-6}{(x^2-2)^2}\)
Luego, \(f'(1)=\frac{-3.1^2-6}{(1^2-2)^2}=-9\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-(-3)=-9(x-1)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=-9x+6}\)
c) Consultando cómo se calcula una integral definida y la tabla de integrales y teniendo en cuenta algunas propiedades de los logaritmos, se obtiene el resultado
\(\displaystyle\int_2^3 f(x)dx=\displaystyle\int_2^3 \frac{3x}{x^2-2}dx=\frac 32\ln |x^2-2|\Big]_2^3=\frac 32(\ln 7-\ln 2)=\bbox[yellow]{\frac 32\ln\frac 72}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) En un edificio inteligente de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad \(0,4\), de molinos eólicos con probabilidad \(0,26\) y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad \(0,12\). Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:
a) por alguna de las dos instalaciones,
b) sólamente por una de las dos
a) Primeramente se definen las variables a utilizar y los datos obtenidos del enunciado:
\(A\equiv\) La energía es suministrada por placas solares, \(P(A)=0,4\)
\(B\equiv\) La energía es suministrada por molinos eólicos, \(P(B)=0,26\)
\(A\cap B\equiv\) La energía es suministrada por placas solares y por molinos eólicos, \(P(A\cap B)=0,12\)
a) La probabilidad pedida será la probabilidad de que la energía sea suministrada por las placas solares más la probabilidad de que sea suministrada por molinos eólicos, ver la teoría de la probabilidad
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,4+0,26-0,12=\bbox[yellow]{0,54}\)
b) La probabilidad será
\(P((A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B))=P(A\cap\bar{B})+P(\bar{A}\cap B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(\Rightarrow P((A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B))=P(A\cup B)-P(A\cap B)=\bbox[yellow]{0,42}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(15\) minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de \(400\) espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo diario dedicado a ver TV es de \(3\) horas
a) Determínese un intervalo de confianza para \(\mu\) con un nivel de confianza del \(95\)%
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de \(\mu\) sea menor o igual que \(3\) minutos, con un nivel de confianza del \(90\)%?
a) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(180-1,96\frac{15}{\sqrt{400}},180+1,96\frac{15}{\sqrt{400}})=\bbox[yellow]{(178,5, 181,5)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,90\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645\), por lo tanto, \(n>(1,645\frac{15}{3})^2=67,65\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 68}\)
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