OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se consideran las matrices:
\(A=\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix};\) \(B=\begin{pmatrix}1 &a\\ 1&b\end{pmatrix};\)\(I=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix};\)\(O=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0&0\end{pmatrix};\)
a) Calcúlense \(a\), \(b\) para que se verifique la igualdad \(AB=BA\)
b) Calcúlense \(c\), \(d\) para que se verifique la igualdad \(A^2+cA+dI=O\)
c) Calcúlense todas las soluciones del sistema lineal:
\((A-I)\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\)
a) Reescribiendo la igualdad con las matrices, se obtiene
\(\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &a\\ 1&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &a\\ 1&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}\)
Sabiendo cómo se multiplican matrices, queda
\(\begin{pmatrix}0.1+0.1 &0.a+0.b\\ 1.1+1.1&1.a+1.b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.0+a.1 &1.0+a.1\\ 1.0+b.1&1.0+b.1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}0 &0\\ 2&a+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &a\\ b&b\end{pmatrix}\Rightarrow \bbox[yellow]{a=0,b=2}\)
b) Para calcular \(c\) y \(d\) se reescribe la igualdad dada como
\(A^2+cA+dI=0\Rightarrow\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}^2+c.\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}+d.\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0&0\end{pmatrix}\)
Operando se obtiene, ver cómo operar con matrices,
\(\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d &0\\ c&c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &0\\ 0&0\end{pmatrix}\Rightarrow \bbox[yellow]{c=-1,d=0}\)
c) Se escribe el sistema lineal dado en forma de ecuación matricial
\(\Big[\begin{pmatrix}0 &0\\ 1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 &0\\ 0&1\end{pmatrix}\Big].\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}-1 &0\\ 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0,y=\lambda}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Se considera un rectángulo \(R\) de lados \(x\) e \(y\)
a) Si el perímetro de \(R\) es igual a \(12m\), calcúlense \(x,y\) para que el área de \(R\) sea máxima y calcúlese el valor de dicha área máxima
b) Si el área de \(R\) es igual a \(36m^2\), calcúlense \(x,y\) para que el perímetro de \(R\) sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo
El área \(A\) y perímetro \(P\) de un rectángulo de lados \(x,y\) vienen dados por las siguientes fórmulas, ver área y perímetro de un rectángulo
\(A=x.y,\qquad P=2x+2y\)
a) En este primer apartado se tiene \(2x+2y=12\Rightarrow y=6-x\)
Incluyendo este valor para \(y\) en la ecuación a maximizar (la ecuación del área), se tiene
\(A(x)=x(6-x)=6x-x^2\)
Para hallar el máximo pedido se deriva la función \(A(x)\) y se iguala a cero la derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y consultar también la tabla de derivadas,
\(A'(x)=6-2x=0\Rightarrow x=3\Rightarrow y=6-3=3\)
Para comprobar si es máximo el punto crítico obtenido se evalúa en la segunda derivada,
\(A»(x)=-2<0\), luego, \(x=3,y=3\) es un máximo.
Por lo tanto, el rectángulo de perímetro \(12m\) y área máxima es \(\bbox[yellow]{\hbox{un cuadrado de lado }3m}\)
b) En este caso, la función a minimizar será \(P=2x+2y\) y se tiene que
\(x.y=36\Rightarrow y=\frac{36}{x}\)
Incluyendo este despeje en la ecuación a minimizar se tiene
\(P=2x+2\frac{36}{x}=2x+\frac{72}{x}\)
Al igual que en el caso anterior, se deriva la ecuación y se iguala a cero, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y la tabla de derivadas
\(P'(x)=2-\frac{72}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm 6\)
Los valores negativos de \(x\) no tienen sentido (ya que se está hablando de la medida de un lado de un rectángulo), luego sólo se tendrá en cuenta \(x=6\)
Para comprobar que es un mínimo, se evalúa en la segunda derivada,
\(P»(x)=\frac{144}{x^3}\), luego, \(P»(6)>0\), luego es un mínimo.
Por lo tanto, el rectángulo de área \(36m^2\) y perímetro mínimo es \(\bbox[yellow]{\hbox{un cuadrado de lado }6m}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Se dispone de tres urnas, \(A,B\) y \(C\). La urna \(A\) contiene una bola blanca y dos bolas negras, la urna \(B\) contiene dos bolas blancas y una bola negra y la urna \(C\) contiene tres bolas blancas y 3 negas. Se lanza un dado equilibrado y si sale \(1,2\) ó \(3\) se escoge la urna \(A\), si sale \($\) se escoge la \(B\) y si sale \(5\) ó \(6\) se elige la urna \(C\). A continuación, se extrae una bola de la urna elegida
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Si se sabe que la bola extraída ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna \(C\)?
a) Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Se escoge la urna \(A\)
\(B\equiv\) Se escoge la urna \(B\)
\(C\equiv\) Se escoge la urna \(C\)
\(D\equiv\) La bola extraída es blanca
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(A)=\frac{3}{6}\)
\(P(B)=\frac{1}{6}\)
\(P(C)=\frac{2}{6}\)
\(P(D|A)=\frac 13\)
\(P(D|B)=\frac 23\)
\(P(D|C)=\frac 36\)
b) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca será la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la urna \(A\), más la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la \(B\) más la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la \(C\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(D)=P((A\cap D)\cup (B\cap D)\cup (C\cap D))=P(A\cap D)+P(B\cap D)+ P(C\cap D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(B|D)+P(C)P(C|D)\)
Luego, \(P(D)=\frac 36.\frac 13+\frac 16.\frac 23+\frac 26.\frac 36=\bbox[yellow]{\frac 49}\)
c) La probabilidad de que la bola extraída sea de la urna \(C\) sabiendo que es blanca es una probabilidad condicionada, consultar probabilidad condicionada
\(P(C|D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{P(C)P(D|C)}{P(D)}=\frac{\frac 26.\frac 36}{\frac 49}=\bbox[yellow]{\frac 38}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Para determinar el coeficiente de inteligencia \(\theta\) de una persona se le hace contestar un conjunto de tests y se obtiene la media de sus puntuaciones. Se supone que la calificación de cada test se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\theta\) y desviación típica \(10\)
a) Para una muestra aleatoria simple de \(9\) tests, se ha obtenido una media muestral igual a \(110\). Determínese un intervalo de confianza para al \(95\)% de confianza
b) ¿Cuál es el número mínimo de tests que debería realizar la persona para que el valor absoluto del error en la estimación de su coeficiente de inteligencia sea menor o igual que \(5\) con el mismo nivel de confianza?
a) Se define la variable \(x\equiv\) puntuación obtenida en el test. Se trata de una variable que sigue una distribución Normal, \(N(\theta,10)\)
Para muestras de nueve elementos (nueve tests), las medias de los resultados también seguirán una Normal: \(N(\theta,\frac{10}{3})\)
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(110-1,96\frac{10}{\sqrt{9}},110+1,96\frac{10}{\sqrt{9}})=\bbox[yellow]{(103,5, 116,5)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser el mismo nivel de confianza que el apartado anterior, se tiene que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), por lo tanto, \(n>(1,96\frac{10}{5})^2=96,04\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 97}\)