OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real \(a\):
\(\displaystyle\begin{cases}x+ay-7z=4a-1&\\x+(1+a)y-(a+6)z=3a+1& \\ay-6z=3a-2&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema en el caso \(a=-3\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &a&-7\\ 1&1+a& -a-6\\ 0&a& -6\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}1 &a&-7&4a-1\\ 1&1+a& -a-6&3a+1\\ 0&a& -6&3a-2\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a^2-a-6=0\Rightarrow a=-2\) y \(a=3\)
– Si \(a\neq -2,3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -2,3}\)
– Si \(a=-2\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-2\\ 1& -1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
Comprobando el determinante de \(A^{*}\) con \(k=0\) se tiene que todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, ver cómo calcular determinantes
Por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) es también dos
De esta forma, consultando la teoría sobre estudio de rango de sistemas de ecuaciones, se tiene \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}=2<3\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-2,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
– Si \(a=3\), \(|A|=0\) y, al igual que en el caso anterior, es posible encontrar \(\begin{array}{|crl|}1 &3\\ 1& 4\end{array}=-1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el menor \(3\times 3\) tal que
\(\begin{array}{|crl|}1 &3&11\\ 1& 4&10\\ 0& -2&7\end{array}=67\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(a=-2\) se tiene que el sistema es compatible indeterminado: \(\displaystyle\begin{cases}x-2y-7z=&-9\\x-y-4z=&-5 \\-2y-6z=&-8\\\end{cases}\)
Como la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, se puede dar el valor de un parámetro a una de las variables (z=\lambda) para resolver el sistema, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}x-2y=&-9+7\lambda\\ x-y=&-5+4\lambda\\\end{cases}\)
El sistema ahora se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(\begin{array}{|crl|}1 & -2 \\1 & -1\end{array}=1\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-9+7\lambda & -2\\-5+4\lambda & -1\end{array}=-1+\lambda\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -9+7\lambda\\1 & -5+4\lambda\end{array}=4-3\lambda\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\lambda)=\bbox[yellow]{(-1+\lambda,4-3\lambda, \lambda)}\)
c) Para \(a=-3\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=a^2-a-6=6\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-13 & -3 & -7 \\-8 & -2 & -3\\-11 & -3 &-6\end{array}=-8\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -13 & -7 \\1 & -8 & -3\\0 & -11 &-6\end{array}=14\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & -13 \\1 & -2 & -8\\0 & -3 &-11\end{array}=4\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(-\frac 43,\frac 73,\frac 23)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Una empresa vinícola tiene plantadas \(1200\) cepas de vid en una finca, produciendo cada cepa una media de \(16\) Kg de uva. Existe un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade a la finca, las cepas producen de media \(0,01\) Kg menos de uba cada una. Determínese el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de uva de la finca sea máxima
Primeramente se determina la variable que se va a utilizar
\(x\equiv\) número de cepas que se deben añadir a la finca
\(P(x)\equiv\) producción (número de cepas por producción por cepa)
De esta forma, la ecuación a optimizar (maximizar en este caso) será
\(P(x)=(1200+x)(16-0,01x)\Rightarrow 19200+4x-0,01x^2\)
Para hallar le máximo pedido se deriva \(P(x)\) y se iguala a cero la derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función
\(P'(x)=4-0,02x=0\Rightarrow x=\frac{4}{0,02}=200\)
Para comprobar si es máximo o mínimo el punto crítico obtenido se evalúa en la segunda derivada,
\(P»(x)=-0,02<0\), luego, \(200\) es un máximo. Por lo tanto habrá que añadir \(\bbox[yellow]{200 \hbox{ cepas}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) En un tribunal de la prueba de acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado se han examinado \(80\) alumnos del colegio \(A\), \(70\) alumnos del colegio \(B\) y \(50\) alumnos del colegio \(C\). La prueba ha sido superada por el \(80\)% de los alumnos del colegio \(A\), el \(90\)% de los del colegio \(B\) y por el \(82\)% de los del colegio \(C\)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya superado la prueba?
b) Un alumno elegido al azar no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al colegio \(B\)?
a) Primeramente se definen las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(A\)
\(B\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(B\)
\(C\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(C\)
\(S\equiv\) Alumno perteneciente al colegio \(S\)
Teniendo en cuenta los datos dados en el enunciado, se tiene
\(P(A)=\frac{80}{200}=0,4\)
\(P(B)=\frac{70}{200}=0,35\)
\(P(C)=\frac{50}{200}=0,25\)
\(P(S|A)=0,8\)
\(P(S|B)=0,9\)
\(P(S|C)=0,82\)
La probabilidad de que haya aprobado la prueba será la suma de las probabilidades siguientes: que haya aprobado viniendo del colegio \(A\), que haya aprobado viniendo del colegio \(B\) y que haya aprobado viniendo del colegio \(C\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(S)=P((A\cap S)\cup (B\cap S)\cup (C\cap S))=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=\)
\(=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P({S}|C)=0,4.0,8+0,35.0,9+0,25.0,82=\bbox[yellow]{0,84}\)
b) Suponiendo que el alumno no ha superado la prueba, la probabilidad de que sea del colegio \(B\) será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(B|\bar{S})=\frac{P(B\cap\bar{S})}{P(\bar{S})}=\frac{P(B)P(\bar{S}|B)}{1-P(\bar{S})}\)
Por otra parte, \(P(\bar{S}|B)=1-P(S|B)=1-0,9=0,1\)
Luego, \(P(B|\bar{S})=\frac{0,35.0,1}{1-0,84}=\bbox[yellow]{0,2187}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Se supone que el precio en kilogramos de los alumnos de un colegio de Educación Primaria el primer día de curso se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(2,8\) Kg. Una muestra aleatoria simple de \(8\) alumnos de ese colegio proporciona los siguientes resultados (en Kg):
\(26\qquad\quad 27,5\qquad\quad 31\qquad\quad 28\qquad\quad 25,5\qquad\quad 30,5\qquad\quad 32\qquad\quad 31,5\)
a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(90\)% para el peso medio de los alumnos de ese colegio el primer día de curso
b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media plobacional sea menor o igual que \(0,9\) Kg con un nivel de confianza del \(97\)%e
a) Considerando \(x\) la variable aleatoria que mide el peso de los alumnos, se comportará como una variable continua con distribución Normal, \(x:N(\mu,\sigma)\), ver estadística
Para muestras de \(8\) elementos, \(\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{232}{8}=29\)Kg
Las medias muestrales también siguen una distribución Normal del tipo \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=N(\mu,\frac{2,8}{\sqrt{8}})\)
a) El intervalo de confianza se calculará utilizando la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,10\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,65\)
Por lo tanto,
\(IC=(29-1,65\frac{2,8}{\sqrt{8}},29+1,65\frac{2,8}{\sqrt{8}})=\bbox[yellow]{(27,4, 30,6)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(97\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,97\Rightarrow\alpha=0,03\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,17\), por lo tanto, \(n>(2,17\frac{2,8}{0,9})^2=45,57\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 46}\)
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