OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (2 ptos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real \(a\):
\(\displaystyle\begin{cases}ax-2y=2&\\3x-y-z=-1& \\x+3y+z=1&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso \(a=1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}a &-2&0\\ 3&-1& -1\\ 1&3& 1\end{pmatrix}\) y \(A^{*}=\begin{pmatrix}a &-2&0&2\\ 3&-1& -1&-1\\ 1&3& 1&1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=-a+2+0-(0-6-3a)=2a+8\Rightarrow a=-4\)
– Si \(a\neq -4\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq -4}\)
– Si \(a=-4\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &-2\\ 1& -1\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) se encuentra el menor \(3\times 3\) tal que
\(\begin{array}{|crl|}4 &-2&2\\ 3& -1&-1\\ 1& 3&1\end{array}=2\neq 0\Rightarrow A^{*}\hbox{ tiene rango }3\)
Por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A \neq\hbox{ rango de }A^{*}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=-4,\hbox{El sistema es incompatible}}\)
b) Para \(a=1\), el sistema es compatible determinado (con \(|A|=2a+8=10\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}2 & -2 & 0 \\-1 & -1 & -1\\1 & 3 &1\end{array}=4\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & 2 & 0 \\3 & -1 & -1\\1 & 1 &1\end{array}=-8\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 2 \\3 & -1 & -1\\1 & 3 &1\end{array}=30\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac 25,-\frac 45,3)}\)
Ejercicio 2: (2 ptos) Se considera la función real de variable real
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}e^{x}&x<0\\ \frac{a+3x}{x^2-4x+3}&x\geq 0\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Estúdiese la continuidad de \(f\) en \(x=0\) para los distintos valores del parámetro \(a\)
b) (1 pto) Determínense las asíntotas de la función
a) El punto de posible discontinuidad que propone el ejercicio es el salto entre los dos trozos de la función (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{a+3x}{x^2-4x+3}=\frac{a}{3}=f(0)\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}e^{x}=e^{0}=1\)
Luego, para que la función sea continua en \(0\) se debe cumplir que \(1=\frac a3\Rightarrow a=3\)
Es decir,
– \(\bbox[yellow]{\hbox{Si }a=3,\quad f(x) \hbox{ es continua en }x=0}\)
– Si \(a\neq 3\), los límites laterales no coinciden en \(x=0\) y, por lo tanto, la función no tiene límite en dicho punto y, por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{Si }a\neq 3,\quad f(x) \hbox{ tiene una discontinuidad no evitable de salto finito }}\), ver tipos de discontinuidades
b) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, los únicos puntos reales en los que puede haber asíntotas verticales son aquéllos que hacen el denominador cero, ver cómo resolver polinomios
\(x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\) y \(x=3\)
Para comprobar si en esos puntos hay asíntotas se calculan los límites laterales de la función.
\(\lim\limits_{x\to 1^{\pm}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{\pm}}\frac{a+3x}{x^2-4x+3}=\frac{a+3}{0}=\pm\infty\)
Por lo tanto, hay asíntota vertical en \(\bbox[yellow]{x=1}\)
Por otra parte,
\(\lim\limits_{x\to 3^{\pm}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{\pm}}\frac{a+3x}{x^2-4x+3}=\frac{a+9}{0}=\pm\infty\)
Por lo tanto, también habrá asíntota vertical en \(\bbox[yellow]{x=3}\)
. Asintótas horizontales:
En este caso se evalúa el límite de la función cuando la \(x\) se acerca a más y menos infinito
\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0\) y \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{a+3x}{x^2-4x+3}=0\)
Luego hay una asíntota horizontal en la recta \(\bbox[yellow]{y=0}\)
. Asintótas oblicuas:
Como hay asíntotas horizontales, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos) Se considera la función real de variable real definida por \(f(x)=x(5-x)^2\)
a) (1 pto) determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\)
b) (1 pto) Determínense los intervalos de concavidad y convexidad de \(f\)
a) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se deriva la función y se iguala a cero, consultar la teoría de máximos y mínimos
En este caso, recordando la tabla de derivadas, se obtiene
\(f'(x)=3x^2-20x+25=0\Rightarrow x=\frac 53\) y \(x=5\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos se estudia el signo de la derivada antes y después de dichos puntos
\(f'(x<\frac 53)>0\qquad\), \(f'(\frac 53<x<5)<0\qquad\),\(f'(x>5)>0\)
Luego, la función \(\bbox[yellow]{\hbox{crece en los intervalos }(-\infty,\frac 53)\cup (5,\infty)}\) y \(\bbox[yellow]{\hbox{decrece en el intervalo }(\frac 53,5)}\)
b) Los intervalos de curvatura se estudian hallando la segunda derivada e igualándola a cero, ver teoría de curvatura de una función
\(f»(x)=6x-20=0\Rightarrow x=\frac{10}{3}\)
Evaluando el signo de la segunda derivada antes y después del punto obtenido, se tiene
\(f»(x<\frac{10}{3})<0\qquad\), \(f»(x>\frac{10}{3})>0\qquad\)
Luego, la función es cóncava en el intervalo \(\bbox[yellow]{(\frac{10}{3},\infty)}\) y convexa en el intervalo \(\bbox[yellow]{(-\infty,\frac{10}{3})}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un \5\% de los clientes atendidos por el sastre \(A\) no queda satisfecho, tampoco el \(8\)% de los atendidos por el sastre \(B\) ni el \(10\)% de los atendidos por el sastre \(C\). El \(55\)% de los arreglos se encargan al sastre \(A\), el \(30\)% al \(B\) y el \(15\)% restante al \(C\). Calcúlese la probabilidad de que:
a) Un cliente no quede satisfecho con el arreglo
b) Si un cliente no ha quedado satisfecho, le haya hecho el arreglo el sastre \(A\)
a) Primeramente se definen las variables a utilizar:
\(A\equiv\) El cliente es atendido por el sastre \(A\)
\(B\equiv\) El cliente es atendido por el sastre \(B\)
\(C\equiv\) El cliente es atendido por el sastre \(C\)
\(S\equiv\) El cliente queda satisfecho
Teniendo en cuenta los datos dados en el enunciado, se tiene
\(P(A)=0,55\)
\(P(B)=0,30\)
\(P(C)=0,15\)
\(P(\bar{S}|A)=0,05\)
\(P(\bar{S}|B)=0,08\)
\(P(\bar{S}|C)=0,10\)
a) La probabilidad de que no quede satisfecho será la probabilidad de que no quede satisfecho habiendo escogido al sastre \(A\), más la probabilidad de que no quede satisfecho habiendo escogido al \(B\), más que esté insatisfecho habiendo contratado al \(C\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(\bar{S})=P((A\cap\bar{S})\cup (B\cap \bar{S})\cup (C\cap\bar{S}))=P(A\cap\bar{S})+P(B\cap\bar{S})+P(C\cap\bar{S})\)
\(P(A)P(\bar{S}|A)+P(B)P(\bar{S}|B)+P(C)P(\bar{S}|C)=0,55.0,05+0,30.0,08+0,15.0,10=\bbox[yellow]{0,0665}\)
b) Suponiendo que el cliente no ha quedado satisfecho, la probabilidad de que le haya hecho el traje el sastre \(A\) será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,
\(P(A|\bar{S})=\frac{P(A\cap \bar{S})}{P(\bar{S})}=\frac{P(A).P(\bar{S}|A)}{P(\bar{S})}=\frac{0,55.0,05}{0,0665}=\bbox[yellow]{0,4135}\)
\[\]Ejercicio 5: (2 ptos) La distribución en horas de un determinado tipo de bombillas se puede aproximar por una distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(1940\) h. Se toma una muestra aleatoria simple
a) ¿Qué tamaño muestral se necesitará como mínimo para que, con un nivel de confianza del \(95\)%, el valor absoluto de la diferencia entre \(\mu\) y la duración media observada \(\bar{X}\) de esas bombillas sea inferior a \(100\)h?
b) Si el tamaño de la muestra es \(225\) y la duración media observada \(\bar{X}\) es de \(12415\) h, obténgase un intervalo confianza al \(90\)% para \(\mu\)
a) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(95\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,05\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\), por lo tanto, \(n>(1,96\frac{1940}{100})^2\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 1446}\)
b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,1\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,645\)
Por lo tanto,
\(IC=(12415-1,645\frac{1940}{\sqrt{225}},12415+1,645\frac{1940}{\sqrt{225}})=\bbox[yellow]{(12202, 12628)}\)