Examen de Selectividad Madrid CC. Sociales Junio 2014

OPCIÓN A

Ejercicio 1:(2 ptos)

Sean las matrices \(A=\begin{pmatrix}2 &1\\ -1& 0\\ 1& -2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3 &1\\ 0& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}\)

a) Calcúlense \((A^{t}B)^{-1}\), donde \(A^{t}\) denota a la traspuesta de la matriz \(A\)
b) Resuélvase la ecuación matricial \(A.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\)

a) Consultando cómo escribir la traspuesta de una matriz, se tiene

\(A^{t}B=\begin{pmatrix}2 &-1&1\\ 1& 0&-2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3 &1\\ 0& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 &0\\ 5& 1\end{pmatrix}\Rightarrow \boxed{(A^{t}B)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac 15 &0\\ -1& 1\end{pmatrix}}\)

b) Escribiendo la ecuación matricial y recordando cómo operar con matrices, se tiene,

\(\begin{pmatrix}2 &1\\ -1& 0\\ 1& -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}2x+y=0&\\-x=-1& \\x-2y=5&\\\end{cases}\Rightarrow \boxed{\begin{cases}x=1&\\y=-2\\\end{cases}}\)

Ejercicio 2: (2 ptos)

Se considera la función \(f(x)=5x-2y\) y la región del plano \(S\) definida por el siguiente conjunto de restricciones:

\(x-2y\leq 0,\qquad\)\(x+y\leq 6,\qquad\)\(x\geq 0,\qquad\)\(y\leq 3\)

a) Represéntese la región \(S\)
b) Calcúlense las coordenadas de los vértices de la región \(S\) y obténgase los valores máximo y mínimo de la función \(f\) en \(S\) indicando los puntos donde se alcanzan

a) Para obtener los vértices de la región pedida, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultando cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado

\(\displaystyle\begin{cases}y=&3\\x=&0\\\end{cases}\Rightarrow A(0,3)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&6\\y=&3\\\end{cases}\Rightarrow B(3,3)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&6\\x-2y=&0\\\end{cases}\Rightarrow C(4,2)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x-2y=&0\\x=&0\\\end{cases}\Rightarrow D(0,0)\)

Y la región será

selec2014

b) Los vértices de la región pedida se han calculado en el apartado anterior y son \(\boxed{A(0,3),\;B(3,3),\;C(4,2)\;y\;D(0,0)}\)

Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetivo \(f(x,y)\), se obtienen los siguientes resultados

\(\displaystyle\begin{cases}f(0,3)=&-6\\f(3,3)=&9\\f(4,2)=&16\\f(0,0)=&0\\\end{cases}\)

Luego, \(f(x,y)\) alcanza el valor máximo en el punto \(\boxed{C(4,2)\;\hbox{y vale }16}\) y el mínimo en \(\boxed{A(0,3)\;\hbox{y vale }-4}\)

 

Ejercicio 3: (2 ptos)

Se considera la función real de variable real

\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}x+a&si\quad x<1\\ x^2-2&si\quad 1\leq x\leq 3\\ x+b&si\quad x>3\\\end{cases}\)

a) Determínese \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\)
b) Calcúlese \(\displaystyle\int_1^3 f(x)dx\)

a) Los puntos de posible discontinuidad que propone el ejercicio serán los saltos entre los trozos de la función, \(x=1\) y \(x=3\), (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dichos puntos se evalúan los límites laterales y la función en los puntos

En \(x=1\), se tiene

\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x^2-2=-1=f(1)\)

Calculando el otro límite lateral, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}x+a=1+a\)

Luego, para que la función sea continua en \(1\) se debe cumplir que \(1+a=-1\Rightarrow a=-2\)

Por otra parte, en \(x=3\), se tiene

\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}x+b=3+b\)

Calculando el otro límite lateral, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}x^2-2=7=f(3)\)

Luego, para que la función sea continua en \(3\) se debe cumplir que \(3+b=7\Rightarrow b=4\)

Es decir,

- \(\boxed{\hbox{Si }a=-2\hbox{ y }b=4,\quad f(x) \hbox{ es continua en todos los reales}}\)

b) La función entre \(1\) y \(3\) toma el valor \(x^2-2\), por lo tanto, recordando cómo se resuelven integrales definidas y consultando también la tabla de integrales, se tiene el resultado

\(\displaystyle\int_1^3f(x)dx=\int_1^3 (x^2-2)dx=\dfrac{x^3}{3}-2x\Big|_1^3=\boxed{\dfrac{14}{3}}\)

 

Ejercicio 4: (2 ptos)

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un espacio muestral tales que: \(P(A)=0,4; P(A\cup B)=0,5; P(B|A)=0,5\). Calcúlese:

a) \(P(B)\)

b) \(P(A|\bar{B})\)

Nota: \(\bar{S}\) denota el suceso complementario del suceso \(S\)

a) La probabilidad del suceso \(B\) se calculará a partir de la fórmula de la probabilidad de la unión y de la condicionada (ambas dadas en el enunciado), ver dichas fórmulas en la teoría de la probabilidad

\(P(B|A)=\dfrac{P(B\cap A)}{P(A)}\Rightarrow P(B\cap A)=P(B|A)P(A)=0,5.0,4=0,2\)

Por otra parte,

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)\)

\(\Rightarrow P(B)=0,5+0,2-0,4=\boxed{0,3}\)

b) La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,

\(P(A|\bar{B})=\dfrac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\dfrac{0,4-0,2}{1-0,3}=\boxed{0,28}\)

Ejercicio 5:(2 ptos)

La longitud, en milímetros (mm), de los individuos de una determinada colonia de gusanos de seda se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida \(\mu\) y desviación típica igual a \(3\) mm

a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(48\) gusanos de seda y se obtiene una media muestral igual a \(36\) mm. Determínese un intervalo de confianza para la media poblacional de la longitud de los gusanos de seda con un nivel de confianza del \(95\)%

b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el error máximo cometido en la estimación de \(\mu\) por la media muestral menor o igual que \(1\) mm con un nivel de confianza del \(90\)%

a) Por los datos del enunciado, siendo \(X\) la variable que mide los Mb descargados mensualmente, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(36, \dfrac{3}{\sqrt{48}})\), ver estadística

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), ver la tabla de la normal

Por lo tanto,

\(IC=(36-1,96\dfrac{3}{\sqrt{48}},36+1,96\dfrac{3}{\sqrt{48}})=\boxed{(35,151;\; 36,849)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido, ver teoría de estadística

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\dfrac{3}{\sqrt{48}}\Rightarrow \boxed{E=0,849}\)

En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando de nuevo la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645\)

Por lo tanto, \(1=1,645\dfrac{3}{\sqrt{n}}\Rightarrow\boxed{n\geq 24,35}\)

 

Ir a la Opción B de este examen