OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (2 ptos)
Se considera Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
\(\displaystyle\begin{cases}3x+ y-z=8&\\2x+az=3&\\x+y+z=2&\\\end{cases}\)
a) Discútase en función de los valores del parámetro a
b) Resuélvase para \(a=1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, primeramente se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada. Como en este caso la matriz \(A\) es de \(3×3\), el rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres.
Se calcula el determinante de \(A\), recordar cómo se resuelven determinantes:
\(\begin{array}{|crl|}3 &1&-1\\ 2& 0 &a\\ 1& 1 &1\end{array}=-2a-4= 0\Rightarrow a= -2\)
Por lo tanto,
– Si \(a\neq -2\), \(\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3\Rightarrow\hbox{el sistema es compatible determinado y tiene una sola solución si }a\neq -2\)
– Si \(a=-2\), el determinante de \(A\) es cero, y el sistema de ecuaciones quedaría como
\(\displaystyle\begin{cases}3x+ y-z=8&\\2x-2z=3&\\x+y+z=2&\\\end{cases}\)
Así que el rango de \(A\) será menor que 3. Para calcular el rango exacto de \(A\) se calculan los determinantes de los menores 2×2 de \(A\) hasta que se halle (si existe) un determinante distinto de cero;
\(\begin{array}{|crl|}3 &1\\ 2& 0\end{array}=-2\neq 0\Rightarrow \hbox{ el rango de }A =2\)
Por otra parte, en la matriz ampliada de \(A\), puede encontrarse el siguiente menor cuyo determinante es distinto de cero;
\(\begin{array}{|crl|}3 &1&8\\ 2& 0&3\\ 1& 1&2\end{array}=6\neq 0\Rightarrow \hbox{ el rango de A^{*}} =3\)
Por lo tanto, \(\hbox{ el rango de }A =2\neq\hbox{ el rango de }A^{*}=3\Rightarrow\hbox{si }a=-2,\hbox{El sistema es incompatible (no tiene solución)}\)
b) Para \(a=1\), el sistema es compatible determinado, consultando cómo se resuelven sistemas de ecuaciones, se concluye el resultado,
\(\begin{cases}3x+y-z=8&\\2x+z=3& \\x+y+z=2&\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=2&\\y=1& \\z=-1&\\\end{cases}\)