Ejercicios de Sistemas de ecuaciones V

Ejercicio 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones \(\displaystyle\begin{cases}x-6y+z=&0\\3x-y-2z=&1 \\x+2y+3z=&2 \\\end{cases}\)

Despejando de la primera ecuación la \(x\), queda \(x=6y-z.\)

Reescribiendo las otras dos ecuaciones restantes,

\[\begin{cases}3(6y-z)-y-2z=&1\\6y-z+2y+3z=&2 \\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}17y-5z=&1\\8y+2z=&2 \\\end{cases}\]

Despejando la \(z\) de la segunda ecuación, \(z=\frac{2-8y}{2}\) e incluyendo este despeje en la primera se obtiene el primer resultado, \(y=\frac{12}{82}\). Sustituyendo el valor de \(y\) en el despeje de \(z\), se tiene que \(z=\frac{68}{164}\).

Sustituyendo el valor de \(z\) e \(y\) en la ecuación \(x=6y-z\), se obtiene el tercer resultado \(x=\frac{76}{164}\) completando así el resultado final:

\[\boxed{\begin{cases}x=&\frac{76}{164}\\y=&\frac{12}{82}\\z=&\frac{68}{164} \\\end{cases}}\]

Ejercicio 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones \(\displaystyle\begin{cases}xy=&1\\5x-18y=&0\\\end{cases}\)

Despejando primero \(x\) en la segunda ecuación, \(x=\frac{18y}{5}\).

Sustituyéndolo en la segunda ecuación se tiene

\(\frac{18y^2}{5}=1\Rightarrow y^2=\frac{5}{18}\)

obteniendo \( y=-\sqrt{\frac{5}{18}}, y=\sqrt{\frac{5}{18}}\).

Si \(y=-\sqrt{\frac{5}{18}}\) se tiene \(x=-\sqrt{\frac{18}{5}}\).

Si \(y=\sqrt{\frac{5}{18}}\) se tiene \(x=\sqrt{\frac{18}{5}}\).

Siendo el resultado final: \(\boxed{x=\sqrt{\frac{18}{5}}, y=\sqrt{\frac{5}{18}} \qquad \hbox{y} \qquad x=-\sqrt{\frac{18}{5}}, y=-\sqrt{\frac{5}{18}}}\).

 

Ejercicio 3: Resolver por el método de Gauss

\[\left\{\begin{array}{rl}x-y-z=&3\\5x+y+z=&2 \\5x-y-5z=&3\end{array}\right.\]

\[\begin{cases}x-y-z=&3\\5x+y+z=&2 \\5x-y-5z=&3 \\\end{cases}\xrightarrow[Ec_2-5Ec_1]{Ec_3-5Ec_1}\begin{cases}x-y-z&=3\\6y+6z&=-13 \\4y&=-12 \\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=&\frac{5}{6}\\y=&-3\\z=&\frac{5}{6} \\\end{cases}}\]

Ejercicio 4: Resolver por el método de Gauss

\[\begin{cases}x+3y-2z=&1\\2x+y+z=&2 \\x-2y+z=&4\end{cases}\]

\[\begin{cases}x+3y-2z=&1\\2x+y+z=&2 \\x-2y+z=&4 \\\end{cases}\xrightarrow[Ec_2-2Ec_1]{Ec_3-Ec_1}\begin{cases}x+3y-2z&=1\\-5y+5z&=0 \\-5y+3z&=3 \\\end{cases}\underrightarrow{{\tiny Ec_3-Ec_2}}\]

\[\begin{cases}x+3y-2z&=1\\-5y+5z&=0 \\-2z&=3 \\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=&-\frac{65}{10}\\y=&\frac{15}{10}\\z=&-\frac{3}{2} \\\end{cases}}\]

Ejercicio 5: Resolver por el método de Gauss 

\[\left\{\begin{array}{rl}x-y-z=&2\\2x+y+z=&3 \\2x-y-2z=&2\end{array}\right.\]

\[\begin{cases}x-y-z=&2\\2x+y+z=&3 \\2x-y-2z=&2 \\\end{cases}\xrightarrow[Ec_2-2Ec_1]{Ec_3-2Ec_1}\begin{cases}x-y-z&=2\\3y+3z&=-1 \\y&=-2 \\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=&\frac{5}{3}\\y=&-2\\z=&\frac{5}{3} \\\end{cases}}\]

Ejercicio 6: Resolver por el método de Gauss 

\[\begin{cases}x-2y+z=&1\\2x+2y-z=&0 \\3x-3y+z=&2\end{cases}\]

\[\begin{cases}x-2y+z=&1\\2x+2y-z=&0 \\3x-3y+z=&2 \\\end{cases}\xrightarrow[Ec_2-2Ec_1]{Ec_3-3Ec_1}\begin{cases}x-2y+z&=1\\6y-3z&=-2 \\3y-2z&=-1 \\\end{cases}\underrightarrow{{\tiny 2Ec_3-Ec_2}}\]

\[\begin{cases}x-2y+z&=1\\6y-3z&=-2 \\-z&=0 \\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=&\frac{1}{3}\\y=&-\frac{1}{3}\\z=&0 \\\end{cases}}\]

Ejercicio 7: Resolver el siguiente sistema 

\[\begin{cases}2x-y+2z=&1\\x+y-z=&3 \\3x+2y+z=&5 \\\end{cases}\]

Despejando de la segunda ecuacion la x, queda \(x=3+z-y.\)

Reescribiendo las otras dos ecuaciones restantes,

\[\begin{cases}2(3+z-y)-y+2z=&1\\3(3+z-y)+2y+z=&5 \\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4z-3y+5=&0\\4z-y+4=&0 \\\end{cases}\]

Restando las dos ecuaciones, se obtiene el primer resultado, \(y=\frac{1}{2}\), sustituyendo este valor en la segunda ecuación,

\(4z-\frac{1}{2}+4=0\Rightarrow 4z=-\frac{7}{2}\Rightarrow z=-\frac{7}{8}\).

Sustituyendo el valor de \(z\) e \(y\) en la ecuación \(x=3+z-y\), se obtiene el tercer resultado \(x=\frac{13}{8}\) completando así el resultado final:

\[\boxed{\begin{cases}x=&\frac{18}{8}\\y=&\frac{1}{2}\\z=&-\frac{7}{8} \\\end{cases}}\]

Ejercicio 8: Resolver el siguiente sistema 

\begin{cases}2x+y=&5\\xy=&2\\\end{cases}

Despejando primero \(y\) en la primera ecuación, \(y=5-2x\).

Sustituyéndolo en la segunda ecuación se tiene

\(x(5-2x)=2\Rightarrow 5x-2x^2=2\)

obteniendo el polinomio \(2x^2-5x+2=0\Rightarrow x=2, x=\frac{1}{2}\).

Si \(x=2\) se tiene \(y=1\).

Si \(x=\frac{1}{2}\) se tiene \(y=4\).

Siendo el resultado final: \(\boxed{x=2, y=1 \qquad \hbox{y} \qquad x=\frac{1}{2}, y=4}\).

 

 

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