Ejercicios de Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 1: Resolver el siguiente sistema \(\displaystyle\begin{cases}3x-2y=&7\\2x+y=&2\\\end{cases}\)

a) Por el método de sustitución
b) Por el método de igualación
a) Por el método de reducción

a) Para resolver un sistema por el método de sustitución se debe despejar una de las variables de una ecuación y sustituir el despeje en la otra, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

En este caso, despejando la variable \(x\) de la primera ecuación, se tiene

\(3x=7+2y\Rightarrow x=\dfrac{7+2y}{3}\)

Incluyendo el despeje obtenido en la segunda,

\(2(\dfrac{7+2y}{3})+y=2\Rightarrow \dfrac{14+4y}{3}+y=2\Rightarrow \dfrac{14+4y}{3}+\dfrac{3y}{3}=\dfrac 63\Rightarrow 7y=6-14\Rightarrow 7y=-8\Rightarrow y=-\dfrac 87\)

Por lo tanto, sustituyendo este valor en el despeje de la otra variable se tiene el resultado

\(x=\dfrac{7+2(-\frac 87)}{3}=\dfrac{7+(-\frac{16}{7})}{3}\Rightarrow x=\dfrac{\frac{49}{7}-\frac{16}{7}}{3}\Rightarrow x=\dfrac{33}{21}=\dfrac{11}{7}\Rightarrow\boxed{x=\dfrac{11}{7}, y=-\dfrac 87}\)

b) Para resolver el sistema por el método de igualación se despeja una de las variables en ambas ecuaciones y se igualan dichos despejes, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones por igualación

Despejando la variable \(x\) de ambas ecuaciones se tiene

\(3x=7+2y\Rightarrow x=\dfrac{7+2y}{3}\)

Y

\(x=\dfrac{2-y}{2}\)

Por lo tanto,

\(\dfrac{7+2y}{3}=\dfrac{2-y}{2}\Rightarrow 2(7+2y)=3(2-y)\Rightarrow 14+4y=6-3y\Rightarrow 7y=-8\Rightarrow y=-\dfrac 87\)

Por otra parte,

\(x=\dfrac{7+2y}{3}={7+2}{3}=\dfrac{7+2(-\frac 87)}{3}=\dfrac{7+(-\frac{16}{7})}{3}\Rightarrow x=\dfrac{\frac{49}{7}-\frac{16}{7}}{3}\Rightarrow x=\dfrac{33}{21}=\dfrac{11}{7}\Rightarrow\boxed{x=\dfrac{11}{7}, y=-\dfrac 87}\)

c) Para resolver el sistema por el método de reducción se manipulan las ecuaciones de manera que al sumar o restar una con otra, una de la variables desaparezca, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones por reducción

Multiplicando por dos la segunda ecuación se tiene \(2(2x+y)=2\cdot 2\)

Sumando las dos ecuaciones se obtiene la siguiente expresión \(7x=11\Rightarrow x=\dfrac{11}{7}\)

Por otra parte, despejando la variable \(y\) en la segunda ecuación, se tiene \(2x+y=2\Rightarrow y=2-2x\Rightarrow y=2-2(\dfrac{11}{7})=\dfrac{14-22}{7}=-\dfrac 87\boxed{x=\dfrac{11}{7}, y=-\dfrac 87}\)

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