Ejercicios de sistemas de ecuaciones IV

\[\] Ejercicio 3: Resolver los siguientes sistemas por el método de reducción
a) \(\displaystyle\begin{cases}3x-5y=&11\\3x+7y=&-1\\\end{cases}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}2x+y=&6\\5x-2y=&12\\\end{cases}\)

El método de reducción consiste en sumar o restar las ecuaciones del sistema de manera que una de las dos variables del problema desaparezca, consultar cómo resolver sistemas por el método de reducción

a) \(\displaystyle\begin{cases}3x-5y=&11\\3x+7y=&-1\\\end{cases}\)

Restando la primera ecuación a la segunda, se tiene \(12y=-12\Rightarrow y=-1\)

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, se tiene \(3x+5=11\Rightarrow x=\frac{11-5}{3}=2\)

Por lo tanto, se obtiene el resultado \(\bbox[yellow]{x=2, y=-1}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}2x+y=&6\\5x-2y=&12\\\end{cases}\)

Multiplicando la primera ecuación por \(2\) y sumando ambas ecuaciones, se obtiene \(9x=24\Rightarrow x=\frac{24}{9}=\frac 83\)

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, \(2(\frac 83)+y=6\Rightarrow 3y=18-16\Rightarrow y=\frac 23\)

Así que el resultado será \(\bbox[yellow]{x=\frac 83, y=\frac 23}\)

 

\[\]Ejercicio 4: Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución/span>

a) \(\displaystyle\begin{cases}x-y=&5\\x^2+y^2=&13\\\end{cases}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}x+2y=&5\\x^2+xy=&3\\\end{cases}\)

El método de sustitución consiste en despejar una variable del sistema de una de las ecuaciones y sustituir la expresión que se ha obtenido en la otra ecuación, repasar cómo resolver sistemas por el método de sustitución

a) \(\displaystyle\begin{cases}x-y=&5\\x^2+y^2=&13\\\end{cases}\)
Despejando se tiene \(x=5+y\Rightarrow (5+y)^2+y^2=13\Rightarrow 2y^2+10y+12=0\Rightarrow y=\frac{-10\pm\sqrt{100-4\cdot 2\cdot 12}}{2\cdot 2}=\frac{-10\pm\sqrt{4}}{4}=\frac{-10\pm 2}{4}\Rightarrow y=-3, y=-2\)

Despejando la otra variable se obtiene el resultado final \(x=2,x=3, y=-3, y=-2\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}x+2y=&5\\x^2+xy=&3\\\end{cases}\)

Despejando la variable \(x\) de la primera ecuación, \(x=5-2y\)
Y sustituyendo el valor en la segunda ecuación, \((5-2y)^2+(5-2y)y=3\Rightarrow 25-20y+4y^2+5y-2y^2=3\Rightarrow y=\frac{15\pm\sqrt{225-4\cdot 2\cdot 22}}{2\cdot 2}=\frac{15\pm\sqrt{49}}{4}\Rightarrow y=\frac{11}{2}, y=2\)

Por lo tanto, \(x=5-2y\Rightarrow x=-6, x=1\)

De esta forma, el resultado final será \(\bbox[yellow]{x=-6, x=1, y=\frac{11}{2}, y=2}\)

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